Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.

Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.

Скачать заметку в формате , рисунки в формате

Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ.

Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х 1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х 2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 … в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500 * х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 их 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено З * х 1 , часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10 * х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3 * х 1 + 10 * х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рис. 2. Оси графика линейного программирования

Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х 1 + 10 * х 2 = 330. Эта прямая пересекает ось х 1 при значении х 2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х 1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х 1 = 330 / 3 = 110

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х 1 и х 2 для всех условий-ограничений:

Область допустимых значений	Граница допустимых значений	Пересечение с осью х 1	Пересечение с осью х 2
3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330	3 * х 1 + 10 * х 2 = 330	х 1 = 110; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 33
16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400	16 * х 1 + 4 * х 2 = 400	х 1 = 25; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 100
6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240	6 * х 1 + 6 * х 2 = 240	х 1 = 40; х 2 = 0	х 1 = 0; х 2 = 40
х 2 ≥ 12	х 2 = 12	не пересекает; идет параллельно оси х 1	х 1 = 0; х 2 = 12

Графически первое ограничение отражено на рис. 3.

Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х 1 и х 2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

разделим (или умножим) коэффициенты перед х 1 и х 2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

Z = 25х 1 + 35х 2

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х 1 и х 2 (25 * 35 = 875):

875 = 25х 1 + 35х 2

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х 1 и х 2:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).

Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х 1 и х 2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х 1 и х 2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х 1 и х 2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х 1 + 10х 2 = 330 и 6х 1 + 6х 2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х 1 = 10, х 2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Точка	Значение х 1	Значение х 2	Z = 2500х 1 + 3500х 2
А	22	12	97 000
В	20	20	120 000
С	10	30	130 000
D	0	33	115 500
E	0	12	42 000

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.

Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:

Начертите на графике две оси, представляющие собою два параметра решения; нарисуйте только I-й квадрант.
Определите координаты точек пересечения всех граничных условий с осями, подставляя в уравнения граничных условий поочередно значения х 1 = 0 и х 2 = 0.
Нанести линии ограничений модели на график.
Определите на графике область (называемую допустимой областью принятия решения), которая соответствует всем ограничениям. Если такая область отсутствует, значит, модель не имеет решения.
Определите значения искомых переменных в крайних точках области принятия решения, и в каждом случае рассчитайте соответствующее значение целевой переменной Z.
Для задач максимизации решение – точка, в которой Z максимально, для задач минимизации, решение – точка, в которой Z минимально.

Действие системы, ее поведение характеризуются не только установлением факта достижения цели, но и степенью ее достижения, определяемой с помощью целевой функции.

Целевая функция – есть обобщенный показатель системы, который характеризует степень достижения системой ее цели. Составление целевой функции одна из важнейших задач при проектировании системы. Однако нет общей теории построения целевых функций, есть только некоторые рекомендации.

Целевая функция составляется по указаниям ТЗ о критерии оптимизации путем анализа внешних параметров системы и ограничений на них.

Целевая функция должна существенно зависеть от внешних параметров или части их. В противном случае оптимизация по данной целевой функции не имеет смысла. Целевая функция представляет вектор в m -мерном пространстве внешних параметров системы

Обычно целевая функция задается в скалярном виде.

Используются следующие четыре формы целевой функции.

1. Наиболее часто используется целевая функция одного внешнего параметра

В этом случае целевая функция просто равна одному из внешних параметров или его обратной величине

Все остальные (m – 1) внешних параметров переводятся в систему ограничений.

Физический смысл целевой функции приведенных видов заключается в том, что чем больше (или меньше) параметр y i , тем лучше при прочих равных условиях данная система, причем равенство прочих условий понимается в смысле ограничений на остальные внешние параметры. Типичные задачи с приведенной формой целевой функции: оптимизация системы по надежности (y = P (t )), помехоустойчивости, стоимости и другим внешним параметрам. Такая целевая функция имеет ясный физический (технический или экономический) смысл, объективно характеризует систему и поэтому часто используется. То есть в этом случае целевой функцией является внешний параметр системы. Он и называется целевой функцией системы. Это могут быть: точность, быстродействие, время, стоимость, надежность, масса, габариты, какой-то технологический показатель и т.п.

2. Вторая форма целевой функции – это сумма параметров одной размерности или сумма функций от этих параметров

Такая форма характерна при оптимизации по экономическим критериям, по критериям сложности и т.п.

Например, при минимизации годовых приведенных затрат на систему целевая функция представляет собой сумму двух внешних параметров: годовых эксплуатационных расходов и капитальных затрат, отнесенных к сроку окупаемости системы. В этом случае каждый из этих внешних параметров системы является сложной функцией ее внутренних (подлежащих нахождению) параметров.

Целевые функции задач оптимизации по критерию сложности также имеют вторую форму, т.к. они представляются в виде суммы сложностей отдельных подсистем или блоков системы.

3. Третья форма целевой функции – ранжированная форма – представляет собой упорядоченную совокупность целевых функций первой формы с приоритетами

Первая целевая функция наиболее важная, последняя целевая функция наименее важная.

В частном случае целевая функция этого вида записывается так:

Пример ранжирования – это (например) такая последовательность целевых функций: точность, надежность, стоимость. Смысл целевой функции третьей формы состоит в следующем. Самым главным – первым по рангу – признается некоторый i -й параметр системы – y i (например, точность). Если у некоторой системы этот i -ый параметр больше, чем у всех других систем, то независимо от значений других параметров (если только они удовлетворяют ограничениям) данная система считается лучшей. Затем по второму параметру и т.д.

Процедура оптимизации в этом случае, как правило, является многошаговой. Такая оптимизация часто неосознанно применяется в технических системах. Сначала выбирают систему лучшую по точности, при одинаковой точности нескольких систем – более надежную, а затем – более дешевую. На каждом шаге при оптимизации используется только один критерий, что не противоречит концепции системного подхода (оптимизация по одному единственному критерию, см. далее).

4. Четвертая – наиболее общая – форма целевой функции представляет собой произвольную зависимость от всех или части (но не меньше двух) разнородных внешних параметров

При этом разнородные параметры преобразуются в безразмерные (или одноразмерные) и целевая функция формируется как некоторая композиция (например, среднее арифметическое) полученных безразмерных показателей.

Единую целевую функцию четвертой формы можно получить из целевых функций третьей формы путем умножения их на весовые коэффициенты и последующего суммирования :

где F S (y i ) – одна из k целевых функций третьей формы;

ω S – ее весовой коэффициент.

Однако, как указывается там же, определение весовых коэффициентов отдельных целевых функций является очень сложным.

Экстремальное значение полученной суммы будет считаться оптимальным.

Таким образом, можно указать, что в большинстве случаев (1-я и 3-я формы) показатели качества системы оцениваются численными значениями компонентов векторной целевой функции, которые носят названия функционалов :

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Так как системы работают в условиях случайных воздействий, то значения функционалов часто оказываются случайными величинами. Это неудобно при использовании функционалов в виде показателей качества. Поэтому в таких случаях обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Например: среднее количество изделий, выпускаемых за смену; средняя стоимость продукции и т.д.

В некоторых случаях показатели качества представляют собой вероятности некоторых случайных событий. При этом в качестве целевой функции выбирается вероятность
выполнения системой поставленной цели (задачи)

Например, вероятность обнаружения цели радиолокатором и т.п.

Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через

Х1,Х2,Х3,…Хп.

Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.

Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами

М = М (х1,х2,…,хп).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Рисунок 1. Одномерная целевая функция.

Рисунок 2. Двумерная целевая функция.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.

Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.

Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид

С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,

С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,

..……………………………..

Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.

Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид

z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид

xнi ? xi ? xвi при i ? ,

где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).

Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:

1) типа равенств
ш (Х) = 0; (2.1)
2) типа неравенств

ц (Х) › 0, (2.2)

где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.

Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:

ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi при i ? }.

Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.

Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.

Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.

Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:

yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;

yr = TTr ± ?yr; r О .

где yi, yj, yr - множество выходных параметров;

TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;

Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.

Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.

Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид

где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).

Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция

определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.

Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид

Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.

Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.

Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:

где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.

Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.

Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,

где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.

Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.

Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то

где m - количество запасов работоспособности.

Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.

где ХД - допустимая для поиска область.

Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.

Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу

Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.

Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:

где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .

Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).

Целевая функция – это математическое представление зависимости критерия оптимальности от искомых переменных.

2. Градиент функции.

Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

называется градиентом функции , вычисленным в точке.

3. Общая задача линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где - заданные числа.

4. Стандартная задача лп.

В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » или « >= ». Все переменные задачи неотрицательны.

Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме . Преобразование задачи на минимум в задачу на максимум, а также обеспечение не отрицательности переменных производится так же, как и раньше. Всякое равенство в системе ограничений равносильно системе взаимопротивоположных неравенств:

Существует и другие способы преобразования системы равенств в систему неравенств, т.е. всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме.

2 вариант ответа:

Стандартная задача ЛП. или, в матричной записи,где- матрица коэффициентов. Векторназывается вектором коэффициентов линейной формы,- вектором ограничений.

5. Каноническая задача лп.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F , ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х 1 , х 2 , ..., х n являются неотрицательными:

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Короткая запись канонической задачи ЛП:

Х=(х1, х2, …, хn), С=(с1, с2, …, сn).

2 вариант ответа:

Каноническая задача ЛП. или, в матричной записи,

6. Симметричные и несимметричные двойственные задачи.

Двойственная задача линейного программирования. Рассмотрим задачу ЛП (1) или, в матричной записи,(2) Задачей, двойственной к (1) (двойственной задачей), называется задача ЛП отпеременныхвида(3) или, в матричной записи,(4) где. Правила построения задачи (3) по форме записи задачи (1) таковы: в задаче (3)

переменных столько же, сколько строк в матрицезадачи (1). Матрица ограничений в (3) - транспортированная матрица. Вектор правой части ограничений в (3) служит вектором коэффициентов максимизируемой линейной форме в (1), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (3) выступает линейная форма, коэффициентами которой задаются вектором правой части ограничений задачи (1), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменныенакладывается условие неотрицательности. Задача (1), в отличии от двойственной задачи (3) называется прямой.Теорема двойственности . Если взаимодвойственные задачи (2), (4) допустимы, то они обе имеют решение и одинаковое значение .

Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного, программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

27 августа 2017 в 14:20

Решение прямой и двойственной задачи линейного программирования средствами Python

Введение

Следует отметить, что методы решения задач линейного программирования относятся не к экономике, а к математике и вычислительной технике. При этом экономисту нужно обеспечить максимально комфортные условия диалога с соответствующим программным обеспечением. В свою очередь такие условия могут обеспечивать только динамично развивающиеся и интерактивные среды разработки, имеющие в своём арсенале набор необходимых для решения таких задач библиотек. Одной из каких сред разработки программного обеспечения безусловно является Python.

Постановка задачи

В публикациях рассматривались решения прямых задач оптимизации методом линейного программирования и был предложен обоснованный выбор решателя scipy. optimize.

Однако известно , что каждой задаче линейного программирования соответствует так называемая выделенная(двойственная)задача. В ней по сравнению с прямой задачей строки переходят в столбцы, неравенства меняют знак, вместо максимума ищется минимум (или наоборот, вместо минимума - максимум). Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача.

Решение двойственной задачи очень важно для анализа использования ресурсов. В данной публикации будет доказано, что оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т.е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной).

Оптимальные значения стоимости материала и труда будут оцениваться по их вкладу в целевую функцию. В результате будут получены «объективно обусловленные оценки» сырья и рабочей силы, которые не совпадают с рыночными ценами.

Решение прямой задачи о оптимальной производственной программе

Учитывая высокий уровень математической подготовки подавляющего большинства пользователей данного ресурса не стану приводить балансовые уравнения с верхними и нижними ограничениями и введением для перехода к равенствам дополнительных переменных. Поэтому сразу приведу обозначения используемых в решении переменных:
N – количество видов производимых изделий;
m– количество видов используемого сырья;
b_ub - вектор имеющихся ресурсов размерности m;
A_ub – матрица размерности m×N, каждый элемент которой является расходом ресурса вида i на производство единицы изделия вида j;
с - вектор прибыли от производства единицы изделия каждого вида;
x – искомые объёмы производимых изделий каждого вида (оптимальный план производства) обеспечивающие максимальную прибыль.

Функция цели
maxF(x)=c×x

Ограничения
A×x≤b

Численные значения переменных:
N=5; m=4; b_ub = ; A_ub = [, , ,]; c = .

Задачи
1.Найти x для обеспечения максимальной прибыли
2. Найти использованные ресурсы при выполнении п.1
3. Найти остатки ресурсов (если они есть) при выполнении п.1

Для определения максимума (по умолчанию определяется минимум коэффициенты целевой функции нужно записать с отрицательным знаком c = [-25, -35,-25,-40,-30] и проигнорировать знак минус перед прибылью.

Используемые при выводе результатов обозначения:
x – массив значений переменных, доставляющих минимум (максимум) целевой функции;
slack – значения дополнительных переменных. Каждая переменная соответствует ограничению-неравенству. Нулевое значение переменной означает, что соответствующее ограничение активно;
success – True, если функции удалось найти оптимальное решение;
status – статус решения:
0 – поиск оптимального решения завершился успешно;
1 – достигнут лимит на число итераций;
2 – задача не имеет решений;
3 – целевая функция не ограничена.
nit – количество произведенных итераций.

Листинг решения прямой задачи оптимизации

#!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- import scipy from scipy.optimize import linprog # загрузка библиотеки ЛП c = [-25, -35,-25,-40,-30] # список коэффициентов функции цели b_ub = # список объёмов ресурсов A_ub = [, # матрица удельных значений ресурсов , , ] d=linprog(c, A_ub, b_ub) # поиск решения for key,val in d.items(): print(key,val) # вывод решения if key=="x": q=#использованные ресурсы print("A_ub*x",q) q1= scipy.array(b_ub)-scipy.array(q) #остатки ресурсов print("b_ub-A_ub*x", q1)

Результаты решения задачи
nit 3
status 0

success True
x [ 0. 0. 18.18181818 22.72727273 150. ]
A_ub*x
b_ub-A_ub*x [ 0. 0. 0. 90.90909091]
fun -5863.63636364
slack [ 0. 0. 0. 90.90909091]

Выводы

Найден оптимальный план по видам продукции
Найдено фактическое использование ресурсов
Найден остаток не использованного четвёртого вида ресурса [ 0. 0 0.0 0.0 90.909]
Нет необходимости в вычислениях по п.3, так как тот же результат выводить в переменной slack

Решение двойственной задачи о оптимальной производственной программе

Четвёртый вид ресурса в прямой задаче использована не полностью. Тогда ценность этого ресурса для предприятия оказывается более низкой по сравнению с ресурсами, ограничивающими выпуск продукции, и предприятие готово заплатить более высокую цену за приобретение ресурсов, позволяющих увеличить прибыль.

Введём новое назначение искомой переменной x как некоторой «теневой» цены, определяющей ценность данного ресурса в отношении прибыли от реализации выпускаемой продукции.

C – вектор имеющихся ресурсов;
b_ub – вектор прибыли от производства единицы изделия каждого вида;
A_ub_T– транспонированная матрица A_ub.

Функция цели
minF(x)=c×x

Ограничения
A_ub_T ×x≥ b_ub

Численные значения и соотношения для переменных:
с = ; A_ub_T transpose(A_ub); b_ub = .

Задача:
Найти x показывающий ценность для производителя каждого вида ресурсов.

Особенности решения с библиотекой scipy. optimize
Для замены ограничений сверху на ограничения с низу необходимо умножить на минус единицу обе части ограничения – A_ub_T ×x≥ b_ub… Для этого исходные данные записать в виде: b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30]; A_ub_T =- scipy.transpose(A_ub).

Листинг решения двойственной задачи оптимизации

#!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- import scipy from scipy.optimize import linprog A_ub = [, , , ] c= b_ub = [-25, -35,-25,-40,-30] A_ub_T =-scipy.transpose(A_ub) d=linprog(c, A_ub_T, b_ub) for key,val in d.items(): print(key,val)

Результаты решения задачи
nit 7
message Optimization terminated successfully.
fun 5863.63636364
x [ 2.27272727 1.81818182 6.36363636 0. ]
slack [ 5.45454545 2.27272727 0. 0. 0. ]
status 0
success True

Выводы

Третий вид ресурсов имеет наибольшую ценность для производителя поэтому данный вид ресурсов должен быть закуплен в первую очередь, затем первый и второй вид. Четвёртый вид ресурса имеет для производителя нулевую ценность и закупается последним.

Результаты сравнения прямой и двойственной задачи

Двойственная задача расширяет возможности планирования выпуска продукции, но средствами scipy. optimize решается за вдвое большее чем прямая количество итераций.
Переменная slack выводит информацию об активности ограничений в виде неравенств, что может быть использовано, например, для анализа остатков сырья.
Прямая задача является задачей максимизации, а двойственная - задачей минимизации, и наоборот.
Коэффициенты функции цели в прямой задаче являются ограничениями в двойственной задаче.
Ограничения в прямой задаче становятся коэффициентами функции цели в двойственной.
Знаки неравенств в ограничениях меняются на противоположные.
Матрица системы равенств транспонируется.

Ссылки