В общем случае каналы классифицируются по характеру входного и выходного сигналов. Канал называют непрерывным (по уровням сигналов), если множество сигналов на входе и выходе является несчетным. Если множество сигналов с дискретным временем на входе и выходе является конечным (по уровням), канал называется дискретным. Канал называют полунепрепрывным, если он является дискретным по входу и непрерывным по выходу.
Радиоканалы, содержащие в своем составе радиолинию - открытое пространство, в принципе являются непрерывными каналами. Реальные радиоканалы отличаются большим разнообразием с точки зрения их свойств и характеристик. В целях упрощения задачи определения статистических характеристик сигналов, наблюдаемых на выходах каналов, во многих случаях целесообразно использовать типичные модели реальных каналов, отображающих их наиболее существенные свойства. Для задания математической модели достаточно указать ограничения, накладываемые на множество возможных входных сигналов и, что особенно существенно, вероятностные характеристики выходных колебаний.
Модели непрерывного канала
Рассмотрим вначале наиболее типичные и широко используемые модели непрерывных каналов. Эти модели представляют интерес при передаче сигналов, как от непрерывных, так и дискретных источников. Далее будем полагать, что все модели представляют каналы с аддитивным гауссовским шумом n(t) , имеющим нулевое математическое ожидание и заданную корреляционную функцию. Наиболее типичной является модель с белым шумом, аппроксимирующим тепловой флуктуационный шум, неизбежно присутствующий во всех реальных каналах.
Канал с точно известным сигналом. Сигнал на выходе канала представляет собой
Предполагается, что форма сигнала s(t) , множитель интенсивности А и задержка известны (в частности , что соответствует изменению начала отсчета времени на выходе канала). Здесь распределение сигнала х является гауссовским. Эта модель применима для РЛС в идеализированных условиях, когда дальность, скорость и ЭПР объекта являются постоянными. Она также может быть использована для аппроксимации радиотелеграфных каналов спутниковой связи, а также для радиоканалов с медленно меняющимися параметрами, для которых значения А и могут быть предсказаны с достаточной точностью.
Канал со случайной фазой сигнала. В отличие от предыдущего задержка является случайной величиной. Для узкополосных сигналов s(t) с центральной частотой спектра выражение для выходного сигнала представляется в виде
где и - функции, сопряженные по Гильберту; - случайная начальная фаза. Как правило, предполагается, что фаза является равномерно распределенной в интервале . Эта модель может быть использована для тех же каналов, что и предыдущая, если начальная фаза сигналов на выходе канала по тем или иным причинам флуктуирует (нестабильность частоты генераторов, флуктуации протяженности пути распространения сигналов).
В каналах радиосвязи со случайной фазой нередко случайной является также и амплитуда А . При рэлеевских изменениях амплитуды и равновероятной фазе квадратурные компоненты и являются гауссовскими случайными величинами. При точно известном сигнале s(t) рассматриваемый канал может быть назван гауссовским каналом с квазидетерминированпным сигналом, т. е. сигналом известной формы, конечное число параметров которого являются случайными.
Радиотелеграфный канал с межсимвольной интерференцией. Межсимвольная интерференция радиотелеграфных сигналов является следствием рассеяния сигналов во времени. Она проявляется в том, что полезный сигнал на выходе канала, описываемый общим выражением вида
является результатом суперпозиции откликов канала на воздействие сигналов одной и той же формы, поступающих в канал с различной задержкой во времени. Межсимвольная интерференция прежде всего является следствием нелинейности фазочастотной характеристики канала передачи. В радиоканалах различных диапазонов волн причиной возникновения межсимвольной интерференции часто является многолучевое распространение радиоволн.
Канал с квазидетерминированным сигналом и посторонними мешающими воздействиями.
В канале на фоне белого гауссовского шума присутствуют сигнал известной формы со случайными параметрами и совокупность мешающих сигналов 
,так что выходной сигнал представляется в виде
Эта модель применима для радиоканалов передачи сигналов от источников дискретных сообщений в условиях сильной перегрузки канала посторонними сигналами с одинаковой структурой, а также в условиях создания активных преднамеренных помех.
Гауссовский канал со случайным сигналом . Сигнал на выходе канала представляется в виде
где и шум и сигнал представляют собой случайные процессы. Нередко предполагается, что сигнал S и, следовательно, х распределены по гауссовскому закону. В некоторых случаях гауссовская модель удовлетворительно описывает каналы передачи сообщений от непрерывных источников с применением амплитудной модуляции.
Канал со структурно-детерминированным сигналом и посторонними мешающими воздействиями . Под структурно-детерминированным сигналом понимается радиосигнал , характеристики переносчика и вид модуляции которого известны, в то время как модулирующий сигнал A(t) является непрерывным случайным процессом с известными статистическими характеристиками. В общем случае сигнал на выходе канала может быть представлен в виде
Рассматриваемая модель отличается от модели канала с квазидетерминированными сигналами только характером множества случайных параметров, закодированных в радиосигналах известной структуры и формы.
Модели дискретного канала
Модели дискретного канала при теоретическом исследовании радиосистем представляют существенный интерес, поскольку помехоустойчивость систем в условиях воздействия интенсивных помех в значительной мере определяется способами кодирования и декодирования модулирующих и демодулированных сигналов. При решении указанных задач целесообразно использовать простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала непосредственно не учитываются. В дискретном канале входными и выходными сигналами являются последовательности импульсов, представляющих поток кодовых символов. Поэтому в модели дискретного канала наряду с ограничениями на параметры множества возможных сигналов на входе достаточно указать распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Для определения множества входных сигналов достаточно указать число m различных символов, число n импульсов в последовательности и, если это необходимо, длительность T in и T out каждого импульса на входе и выходе канала. Как правило, эти длительности одинаковы, так что одинаковыми являются и длительности любых n -последовательностей на входе и выходе. Вследствие воздействия помех в канале последовательности импульсов на входе и выходе канала могут оказаться различными. В общем случае для любого n необходимо указать вероятность того, что при передаче некоторой последовательности В на выходе появится конкретная реализация случайной последовательности В .
Рассматриваемые здесь n -последовательности можно представлять векторами в m n -мерном эвклидовом пространстве, в котором операции «сложения» и «вычитания» понимаются как поразрядное суммирование по модулю m и аналогично определяется умножение на целое число. В этом пространстве целесообразно ввести в рассмотрение «вектор ошибки» Е , под которым следует понимать поразрядную разность между входным (переданным) и выходным (принятым) векторами, или иначе, представлять принятый вектор в виде суммы переданного и вектора ошибки: , где случайный вектор ошибки Е в определенном смысле играет роль помехи n(t) в модели непрерывного канала. Различные модели дискретного канала отличаются распределением вероятностей вектора ошибки. В общем случае распределение вероятностей Е может зависеть от реализации вектора . Вектор ошибки приобретает особенно наглядное толкование в случае двоичного канала, когда m = 2. Появление символа 1 в любом месте вектора ошибки свидетельствует о наличии ошибки в соответствующем разряде переданной n -последовательности. Число ненулевых символов в векторе ошибки называют весом вектора ошибки.
Наиболее простой моделью дискретного канала является симметричный канал без памяти. Таковым является канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью q = 1 - р , причем в случае ошибки вместо переданного символа может быть с равной вероятностью принят любой другой символ , т. е.
> (2.13)
Термин «без памяти» означает, что вероятность появления ошибки в любом разряде n-последовательности не зависит от того, какие символы передавались до этого разряда и как они были приняты.
Вероятность появления какого-либо n -мерного вектора ошибки веса l в этом канале равна
Вероятность того, что произошло l любых ошибок, расположенных произвольным образом на протяжении n -последовательности, определяется законом Бернулли
(2.14)
где 
- биноминальный коэффициент (число различных сочетаний l
ошибок в n
-последовательности).
Модель симметричного канала без памяти (биномиального канала) является хорошей аппроксимацией канала с аддитивным белым шумом при неизменном множителе интенсивности сигнала. Рис. 1,а демонстрирует граф, отображающий вероятности переходов в двоичном симметричном канале без памяти.
В несимметричном канале без памяти ошибки возникают также независимо друг от друга, однако вероятности перехода символов 1 в 0 и обратно при прохождении сигнала в канале являются различными. Соответствующий граф переходных вероятностей в этом канале представлен на рис. 1 ,б.
Дискретным каналом называют совокупность средств, предназначенных для передачи дискретных сигналов. Такие каналы широко используются, например, при передаче данных, в телеграфии, радиолокации.
Дискретные сообщения, состоящие из последовательности знаков алфавита источника сообщений (первичного алфавита) , преобразуются в кодирующем устройстве в последовательности символов. Объем m алфавита символов (вторичного алфавита) , как правило, меньше объема l алфавита знаков, но они могут и совпадать.
Материальным воплощением символа является элементарный сигнал, получаемый в процессе манипуляции - дискретного изменения определенного параметра переносчика информации. Элементарные сигналы формируются с учетом физических ограничений, накладываемых конкретной линией связи. В результате манипуляции каждой последовательности символов ставится в соответствие сложный сигнал. Множество сложных сигналов конечно. Они различаются числом, составом и взаимным расположением элементарных сигналов.
Термины «элементарный сигнал» и «символ», так же как «сложный сигнал» и «последовательность символов», в дальнейшем будут использоваться как синонимы.
Информационная модель канала с помехами задается множеством символов на его входе и выходе и описанием вероятностных свойств передачи отдельных символов. В общем случае канал может иметь множество состояний и переходить из одного состояния в другое как с течением времени, так и в зависимости от последовательности передаваемых символов.
В каждом состоянии канал характеризуется матрицей условных вероятностей?() того, что переданный символ u i будет воспринят на выходе как символ? j . Значения вероятностей в реальных каналах зависят от многих различных факторов: свойств сигналов, являющихся физическими носителями символов (энергия, вид модуляции и т.д.), характера и интенсивности воздействующих на канал помех, способа определения сигнала на приемной стороне.
При наличии зависимости переходных вероятностей канала от времени, что характерно практически для всех реальных каналов, он называется нестационарным каналом связи. Если эта зависимость несущественна, используется модель в виде стационарного канала, переходные вероятности которого не зависят от времени. Нестационарный канал может быть представлен рядом стационарных каналов, соответствующих различным интервалам времени.
Канал называется с «памятью » (с последействием), если переходные вероятности в данном состоянии канала зависят от его предыдущих состояний. Если переходные вероятности постоянны, т.е. канал имеет только одно состояние, он называется стационарным каналом без памяти . Подk-ичным каналом подразумевается канал связи, у которого число различных символов на входе и выходе одинаково и равноk.
Стационарный дискретный двоичный канал без памяти однозначно определяется четырьмя условными вероятностями: р(0/0), р(1/0), р(0/1), р(1/1). Такую модель канала принято изображать в виде графа, представленного на рис. 4.2, где р(0/0) и р(1/1) - вероятности неискаженной передачи символов, а р(0/1) и р(1/0) - вероятности искажения (трансформация) символов 0 и 1 соответственно.
Если вероятности искажения символов можно принять равными, т. е. то такой канал называют двоичным симметричным каналом [при р(0/1)р(1/0) канал называется несимметричным ]. Символы на его выходе правильно принимают с вероятностью? и неправильно - с вероятностью 1-p = q. Математическая модель упрощается.
Именно этот канал исследовался наиболее интенсивно не столько в силу своей практической значимости (многие реальные каналы описываются им весьма приближенно), сколько в силу простоты математического описания.
Важнейшие результаты, полученные для двоичного симметрического канала, распространены на более широкие классы каналов.
Следует отметить еще одну модель канала, которая в последнее время приобретает все большее значение. Это дискретный канал со стиранием. Для него характерно, что алфавит выходных символов отличается от алфавита входных символов. На входе, как и ранее, символы 0 и 1, а на выходе канала фиксируются состояния, при которых сигнал с равным основанием может быть отнесен как к единице, так и к нулю. На месте такого символа не ставится ни нуль, ни единица: состояние отмечается дополнительным символом стиранияS. При декодировании значительно легче исправить такие символы, чем ошибочно определенные.
На рис. 4 3 приведены модели стирающего канала при отсутствии (рис. 4.3, а) и при наличии (рис. 4.3, 6) трансформации символов.
Для того чтобы дать математическое описание канала, необходимо и достаточно указать множество сигналов, которые могут быть поданы на его вход, и для любого допустимого входного сигнала задать случайный процесс (сигнал) на его выходе. Задать процесс (см. § 2.1)-это значит задать в той или иной форме распределение вероятностей.
Точное математическое описание любого реального канала обычно весьма сложное. Вместо этого используют упрощенные математические модели, которые позволяют выявить все важнейшие закономерности реального канала, если при построении модели учтены наиболее существенные особенности канала и отброшены второстепенные детали, мало влияющие на ход связи.
Рассмотрим наиболее простые и широко используемые математические модели каналов, начав с непрерывных каналов, поскольку они во многом предопределяют и характер дискретных каналов.
Идеальный канал без помех представляет собой линейную цепь с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот F, имеющие ограниченную среднюю мощность Р (либо пиковую мощность Р пик). Эти ограничения характерны для всех непрерывных каналов, и в дальнейшем о них не говорится. Заметим, что если мощность сигнала не ограничивать, то множество допустимых сигналов образует векторное пространство, конечномерное (при определенных ограничениях на длительность и ширину спектра) либо бесконечномерное (при более слабых ограничениях). В идеальном канале выходной сигнал при заданном входном детерминированный. Эту модель иногда используют для описания кабельных каналов. Однако, строго говоря, она непригодна для реальных каналов, в которых неизбежно присутствуют, хотя бы и очень слабые, аддитивные помехи.
Канал с аддитивным гауссовским шумом. Сигнал на выходе такого канала
Z(t) = ku(t-τ) + N(f), (3.38)
где u(t) - входной сигнал; k и t - постоянные; N (t) - гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией. Чаще всего рассматривается белый шум либо квазибелый (с равномерной спектральной плотностью в полосе спектра сигнала u(t)).
Обычно запаздывание τ не учитывают, что соответствует изменению начала отсчета времени на выходе канала.
Некоторое усложнение этой модели получается, если коэффициент передачи k и запаздывание т считать известными функциями времени:
Z(t) = k(t)u + N(t). (3.39)
Такая модель удовлетворительно описывает многие проводные каналы, радиоканалы при связи в пределах прямой видимости, а также радиоканалы с медленными общими замираниями, при которых можно надежно предсказать значения k, τ.
Канал с неопределенной фазой сигнала отличается от предыдущего тем, что в нем запаздывание является случайной величиной. Для узкополосных сигналов, с учетом (2.69) и (3.2), выражение (3.39) при постоянном k и случайных τ(t) можно представить в виде
Z(t) = k + N (t), (3.40)
где ũ(t) - преобразование Гильберта от u(t); θ K = ω 0 τ - случайная начальная фаза. Распределение вероятностей θ K предполагается заданным, чаще всего равномерным на интервале от 0 до 2π. Эта модель удовлетворительно описывает те же каналы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Такая флуктуация вызывается небольшими изменениями протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов.
Однолучевой гауссовский канал с общими замираниями (флуктуациями амплитуд и фаз сигнала) также описывается формулой (3.40), но множитель K, как и фаза θ K , считаются случайными процессами. Иными словами, случайными будут квадратурные компоненты
X = K cos θ K ; Y = K sin θ K , (3.41)
При изменении квадратурных компонент X(t), Y(t) во времени принимаемое колебание
Z(t) = X(t)u(t) + Y(t)ũ(t) + N(t) = K (t) + N(t). (3.42)
Как отмечалось на с. 85, одномерное распределение коэффициента передачи K(t) может быть рэлеевским (3.35) или обобщенным рэлеевским (3.36). Такие каналы называют соответственно каналами с рэлеевскими или с обобщенными рэлеевскими замираниями. В рамках общей гауссовской модели канала K(t) имеет четырех параметрическое распределение. Модель однолучевого канала с замираниями достаточно хорошо описывает многие каналы радиосвязи в различных диапазонах волн, а также некоторые другие каналы.
Канал с межсимвольной интерференцией (МСИ) и аддитивным шумом. Эта модель является частным случаем (3.31), когда G(t, τ) от t не зависит (или меняется очень медленно), так что рассеяние по частоте практически не наблюдается.
Межсимвольная интерференция вызывается рассеянием сигнала во времени при его прохождении по каналу связи. Она проявляется в том, что на выходе канала сигнал, описываемый общим выражением (3.42), оказывается деформированным так, что одновременно присутствуют отклики канала на отрезки входного сигнала, относящиеся к довольно отдаленным моментам времени. При передаче дискретных сообщений это приводит к тому, что при приеме одного символа на вход приемного устройства воздействуют также отклики на более ранние (а иногда и более поздние) символы, которые в этих случаях действуют как помехи.
Межсимвольная интерференция непосредственно вызывается нелинейностью фазо-частотной характеристики канала и ограниченностью его полосы пропускания. В радиоканалах причиной МСИ чаще всего является многолучевое распространение радиоволн * .
* (Использование сигналов с большой базой позволяет в месте приема ликвидировать вредные последствия многолучевого распространения, однако такие системы характеризуются низкой эффективностью использования полосы частот канала. )
Пусть передатчик передает синхронно с тактовым интервалом Т последовательность элементарных сигналов, соответствующих цепочке символов
b -Q , b -(Q-1) ,....,b -2 , b -1 , b 0 , b 1 , b 2 ,....,b Q-1 , b Q , (3.43)
причем каждый из символов последовательности выбирают из возможного для данного кода набор 0, 1, ..., m - 1 (m - основание кода).
Обозначим отклик линейного канала на элементарный сигнал, соответствующий символу b r через s r (t) * , 0≤t≤(Q + 1)T, где
относительная память канала, определяемая целой частью от деления времени рассеяния канала Δτ (длительности переходного процесса в канале) на Т. Тогда принимаемое колебание z(t) в месте приемка на интервале анализа T a = (D+1T) ** при поиске решения о символе b 0 можно записать в виде
где s 0 (t) - сигнал, обусловленный анализируемым символом
сигнал межсимвольной интерференции, обусловленный символами, переданными до и после анализируемого символа; n(t)-аддитивный шум в канале;
сигнал, который определяет остаточный сигнал, МСИ, обусловленный символами, переданными до анализируемого;
Сигнал, который определяет сигнал МСИ, обусловленный символами, переданными после анализируемого. Чем больше скорость передали символов 1/Т в каждом частотном канале при заданной его полосе пропускания, тем большее число соседних с анализируемым символов определяет сигнал g M.u (t). В некоторых случаях в модели (3.44) можно считать, что элементарные сигналы на приеме s r (t) и передаче u r (t) связаны детерминированными (как правило, линейным) отношением. Тогда при незначительном уровне шумов n(t) в канале можно, в принципе, осуществить его коррекцию, т. е. перейти к модели не искажающего канала. Однако при значительных уровнях шумов в канале с МСИ предельное качество может обеспечить лишь оптимальный прием . При случайных изменениях параметров канала функции s r (t) (G(t, τ)) становятся случайными и модель (3.44) усложняется.
* (При использовании двоичных противоположных сигналов и постоянных параметрах канала s r (t) = a r s(t), где s(t)-отклик канала на элементарный сигнал, соответствующий символу 1, a r = ±1. )
** (При поэлементном приеме D определяет задержку (выраженную в числе символов) принятия решения о передаваемом символе. С ростом D возрастает качество связи при оптимальном приеме. Обычно выбирают D≤Q . )
*** (При Т a = Т (D = 0) это слагаемое сигнала МСИ обращается в нуль. )
Модели дискретного канала. Полезно напомнить, что в дискретном канале всегда содержится непрерывный канал, а также модем. Последний можно рассматривать как устройство, преобразующее непрерывный канал в дискретный. Поэтому, в принципе, можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала и модема. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к сложным моделям.
Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьировать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала изменением модема.
Модель дискретного канала содержит задание множества возможных сигналов на его входе и распределение условных верояткостей выходного сигнала при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются последовательности кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число га различных символов (основание кода), а также длительность Т передачи каждого символа. Будем считать значение Т одинаковым для всех символов, что выполняется в большинстве современных каналов. Величина v = 1/T определяет количество символов, передаваемых в единицу времени. Как указывалось в § 1.5, она называется технической скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывает появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова * .
* (В реальных каналах это не всегда выполняется, так как при нарушении тактовой синхронизации модема число символов на выходе канала может оказаться больше или меньше, чем на входе. В данном курсе это обстоятельство не учитывается и синхронизация считается идеальной. Методы обеспечения синхронизации изучаются в специальных курсах. )
В общем случае для любого n должна быть указана вероятность того, что при подаче на вход канала любой заданной последовательности b [n] кодовых символов, на выходе появится некоторая реализация случайной последовательности B [n] . Кодовые символы обозначим числами от 0 до m-1, что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все n-последовательности (векторы), число которых равно m n , образуют m n -мерное конечное векторное пространство, если "сложение" понимать как поразрядное суммирование по модулю m и аналогично определить умножение на скаляр (целое число). Для частного случая m = 2 такое пространство было рассмотрено в § 2.6.
Введем еще одно полезное определение. Будем называть вектором ошибки поразрядную разность (разумеется, по модулю m) между принятым и переданным векторами. Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Вектор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в векторном пространстве (поразрядным, по модулю m):
B [n] = В [n] + Е [n] , (3.45)
где B [n] и В [n] - случайные последовательности из n символов на входе и выходе канала; Е [n] - случайный вектор ошибки, который в общем случае зависит от В [n] Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора E [n] . Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов (m = 2), когда его компоненты принимают значения 0 и 1. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный прием символа. Число ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Образно говоря, модем, осуществляющий переход от непрерывного канала к дискретному, преобразует помехи и искажения непрерывного канала в поток ошибок.
Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов.
Симметричный канал без памяти определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью р и правильно с вероятностью 1-р, причем в случае ошибки вместо переданного символа b может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ b̂ j , если был передан b i
Термин "без памяти" означает, что вероятность ошибочного приема символа не зависит от предыстории, т. е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. В дальнейшем, для сокращения, вместо "вероятность ошибочного приема символа" будем говорить "вероятность ошибки".
Очевидно, что вероятность любого n-мерного вектора ошибки в таком канале
р (Е [n]) = }