Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач симплекс-методом. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.
Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом
1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").
Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:
Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами: -система ограничений должна быть системой уравнений с базисом; -свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.
Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод . Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0) для решения задачи на симплекс-метод , т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.
симплекс-метод итерация 0
|
Отношение |
|||||||
Для улучшения решения перейдем к следующей итерации симплекс-метода , получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации симплекс-метода. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации симплекс-метода это столбец x 2 (коэффициент -6).
Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации симплекс-метода. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).
Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации симплекс-метода переменная x 2 заменит в базисе s 1 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.
Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).
1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:
2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0, цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.
3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.
4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.
Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:
Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).
Например для z-строки имеем:
Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120) =Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120).
Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.
симплекс-метод итерация 1
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.
симплекс-метод итерация 2
|
Отношение |
|||||||
Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.
симплекс-метод итерация 3
|
Отношение |
|||||||
В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.
Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств
(2)
Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид
x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)
Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:
F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)
Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.
Алгоритм решения задачи следующий:
1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.
2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.
Таблица 1.
| базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
| x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n|||
| x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
| x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| . | . | . | . | . | . | . | . |
| x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
| F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.
Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия
т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.
Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.
3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:
Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.
Остальные формулы легко записать с помощью .
Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).
4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.
5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.
Рис. 1. Правило прямоугольника
Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:
Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.
6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.
Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.
Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.
Пример 1. Решить задачу
max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}
Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.
Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда
Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.
Рис. 2. Графическое решение задачи
Рассмотрен пример решения задачи симплекс методом, а также пример решения двойственной задачи.
Условие задачи
Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом
, составить двойственную задачу
линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных
прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи
, в которой производится оценка ресурсов
, затраченных на продажу товаров.
Решение задачи симплекс методом
Пусть x 1 , x 2 , x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max
0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">
Решаем симплекс методом.
Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.
Данные заносим в симплекс таблицу
Симплекс таблица № 1
Целевая функция:
0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0
Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:
Вводим переменную x 2 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .
= 26.667
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса
3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 2
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6
Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.
Вводим переменную x 1 в базис.
Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .
Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса
3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3
Вычисляем:
Получаем новую таблицу:
Симплекс таблица № 3
Целевая функция:
0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160
Вычисляем оценки по формуле:
Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1
Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.
Решение задачи:
Ответ
x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.
Решение двойственной задачи
Двойственная задача имеет вид:
Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min
Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">
Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:
Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:
Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;
Рассмотрим симплекс -метод
для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.
Алгоритм симплекс-метода следующий:
- Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
- Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
- После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
- Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
- Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
- Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.
Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:
Приводим задачу к каноническому виду:
Составляем вектора:
Заполняем симплекс – таблицу:
:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0
, для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: 
.
Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:
В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:
Отсутствие отрицательных элементов в f
– строке означает, что найден оптимальный план
:
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
- Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
- Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
- Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.
Решение линейного программирования на заказ
Заказать любые задания по этой дисциплине можно у нас на сайте. Прикрепить файлы и указать сроки можно на
Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности (см. решение двойственной задачи) и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых b i могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла «≤», «≥» или равенством «=».Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для решения задач линейного программирования P-методом в следующих формах записи: базовой форме записи симплекс-метода, в виде симплексной таблицы, модифицированным симплекс-методом.
Инструкция для решения задач двойственным симплекс-методом . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения двойственным симплекс-методом).
При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП
Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.
| Объем товара Х (в партиях) | Доход G(X) | ||
| 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 28 | 30 | 32 |
| 2 | 41 | 42 | 45 |
| 3 | 50 | 55 | 48 |
| 4 | 62 | 64 | 60 |
| 5 | 76 | 76 | 72 |
В P-методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам. Псевдоплан - план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных x i имеются отрицательные числа. Алгоритм двойственного симплекс-метода включает следующие этапы:
- Составление псевдоплана . Систему ограничений исходной задачи приводят к системе неравенств смысла «≤».
- Проверка плана на оптимальность . Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то задача решается симплексным методом .
- Выбор ведущих строки и столбца . Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.
- Расчет нового опорного плана . Новый план получается в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса . Далее переход к этапу 2.
Пример
. Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц, А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах.
Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны? Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой операции в форме, допускающей использование P–метода.
Известно, что содержание n питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание
: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Приведем систему ограничений к системе неравенств смысла ≤, умножив соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 4x 1 + 2x 2 + x 3 при следующих условиях-ограничений.
- x 1 - x 2 ≤-10
2x 1 + x 2 - x 3 ≤8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 . Во втором неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 5 .
-1x 1 -1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = -10
2x 1 + 1x 2 -1x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
| A = |
|
x 4 , x 5 ,
Полагая, что свободные переменные равны нулю, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-10,8)
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
Итерация №1
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
Ведущей будет первая строка, а переменную x 4 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x 2 необходимо ввести в базис.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 4 | -10 | -1 | -1 | 0 | 1 | 0 |
| x 5 | 8 | 2 | 1 | -1 | 0 | 1 |
| F(X0) | 0 | -4 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| θ | 0 | -4: (-1) = 4 | -2: (-1) = 2 | - | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса .
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| -10: -1 | -1: -1 | -1: -1 | 0: -1 | 1: -1 | 0: -1 |
| 8-(-10 1):-1 | 2-(-1 1):-1 | 1-(-1 1):-1 | -1-(0 1):-1 | 0-(1 1):-1 | 1-(0 1):-1 |
| 0-(-10 -2):-1 | -4-(-1 -2):-1 | -2-(-1 -2):-1 | -1-(0 -2):-1 | 0-(1 -2):-1 | 0-(0 -2):-1 |
Итерация №2
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.
Ведущей будет вторая строка, а переменную x 5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной. Минимальное значение θ соответствует третьему столбцу, т.е. переменную x 3 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1).
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 5 | -2 | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| F(X0) | 20 | -2 | 0 | -1 | -2 | 0 |
| θ | 0 | - | - | -1: (-1) = 1 | - | - |
4. Пересчет симплекс-таблицы. Выполняем преобразования.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
| B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| 10-(-2 0):-1 | 1-(1 0):-1 | 1-(0 0):-1 | 0-(-1 0):-1 | -1-(1 0):-1 | 0-(1 0):-1 |
| -2: -1 | 1: -1 | 0: -1 | -1: -1 | 1: -1 | 1: -1 |
| 20-(-2 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(0 -1):-1 | -1-(-1 -1):-1 | -2-(1 -1):-1 | 0-(1 -1):-1 |
В базисном столбце все элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
| Базис | B | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x 2 | 10 | 1 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| x 3 | 2 | -1 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| F(X1) | 22 | -3 | 0 | 0 | -3 | -1 |
Оптимальный план можно записать так: x 1 = 0, x 2 = 10, x 3 = 2
F(X) = 2 10 + 1 2 = 22