Разложение периодических несинусоидальных функций

Общие определения

Часть 1. Теория линейных цепей (продолжение)

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей

Т. Электрические цепи периодического несинусоидального тока

Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для то­ков и на­пря­жений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приво­дят к дополнительным потерям энергии и сниже­нию их коэффициента полез­ного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора явля­ется одним из показателей качества электрической энергии как товара.

Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и на­пряжений в сложной цепи:

1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры ко­торых за­висят от мгновенных значений тока и напряжения [R, L, C=f (u,i )], (на­пример, выпрямитель­ные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.);

2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, пара­метры кото­рых изменяются во времени[R, L, C=f (t )];

3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу кон­структивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения;

4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов.

Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных гла­вах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электриче­ских цепей при воздей­ствии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой.

Из курса математики известно, что любая периодическая функция вре­мени f (t ), удов­летворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гар­моническим рядом Фурье:

Здесь А 0 – постоянная составляющая, - k -я гармониче­ская составляю­щая или сокращенно k -я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - выс­шими.

Амплитуды отдельных гармоник А к не зависят от способа разложения функции f (t ) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат).

Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы си­нусной и ко­си­нусной составляющих:

Тогда весь ряд Фурье получит вид:

Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид:

Если k -ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить ком­плекс­ными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно предста­вить в комплексной форме:

Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или мо­жет быть вы­ражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэф­фициенты ряда Фурье оп­ределяются по формулам, известным из курса матема­тики:

На практике исследуемая несинусоидальная функция f (t ) обычно задается в виде гра­фической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы ко­ор­динат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выпол­нить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математиче­ским выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, по­лучила название аппроксимации функции.

Преобразования Фурье и Хартли трансформируют функции времени в функции частоты, содержащие информацию об амплитуде и фазе. Ниже приведены графики непрерывной функции g (t ) и дискретной g (τ), где t и τ — моменты времени.

Обе функции начинаются в нуле, скачком достигают положительного значения и экспоненциально затухают. По определению преобразование Фурье для непрерывной функции есть интеграл по всей вещественной оси, F (f ), а для дискретной функции — сумма по конечному набору отсчётов, F (ν):

где f , ν — значения частоты, n — число выборочных значений функции, а i =√ –1 — мнимая единица. Интегральное представление больше подходит для теоретических исследований, а представление в виде конечной суммы — для расчётов на компьютере. Интегральное и дискретное преобразования Хартли определяются аналогичным образом:

Хотя единственная разница в обозначениях между определениями Фурье и Хартли заключается в присутствии множителя перед синусом, тот факт, что у преобразования Фурье есть и действительная, и мнимая часть, делает представления этих двух преобразований совершенно различными. Дискретные преобразования Фурье и Хартли имеют по существу ту же форму, что и их непрерывные аналоги.

Хотя графики выглядят по-разному, из преобразований Фурье и Хартли можно вывести, как показано ниже, ту же информацию об амплитуде и фазе.

Амплитуда Фурье определяется квадратным корнем из суммы квадратов действительной и мнимой частей. Амплитуда Хартли определяется квадратным корнем из суммы квадратов H (–ν) и H (ν). Фаза Фурье определяется арктангенсом мнимой части, делённой на действительную часть, а фаза Хартли определяется суммой 45° и арктангенса от H (–ν), делённого на H (ν).

Главная > Закон

ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

До сих пор мы изучали цепи синусоидального тока, однако закон изменения тока во времени может отличаться от синусоидального. В этом случае имеют место цепи несинусоидального тока. Все несинусоидальные токи делятся на три группы: периодические, т.е. имеющие период Т (рис.6.1,а), непериодические (рис.6.1,б) и почти периодические, имеющие периодически изменяющуюся огибающую (Т о) и период следования импульсов (Т и) (рис.6.1,в). Есть три способа получения несинусоидальных токов: а) в цепи действует несинусоидальная ЭДС; б) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но один или несколько элементов цепи являются нелинейными; в) в цепи действует синусоидальная ЭДС, но параметры одного или нескольких элементов цепи периодически изменяются во времени. На практике чаще всего используется способ б). Наибольшее распространение несинусоидальные токи получили в устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики и вычислительной техники, где часто встречаются импульсы самой разнообразной формы. Встречаются несинусоидальные токи и в электроэнергетике. Мы будем рассматривать только периодические несинусоидальные напряжения и токи, которые могут быть разложены на гармонические составляющие.

Разложение периодических несинусоидальных кривых в тригонометрический ряд Фурье

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических несинусоидальных напряжениях и токах, проще всего поддаются расчету и исследованию, если несинусоидальные кривые раскладывать в тригонометрический ряд Фурье. Из математики известно, что периодическая функция f(ωt) , удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале времени конечное число разрывов только первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

f(ωt)=A o +
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···+
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···=

A o +
.

Здесь: A o – постоянная составляющая или нулевая гармоника;
- амплитуда синусной составляющей k -й гармоники;
- амплитуда косинусной составляющей k -й гармоники. Они определяются по следующим формулам

Так как где как следует из векторной диаграммы (рис.6.2) , то получаем

.

Входящие в это выражение слагаемые называются гармониками. Различают четные (k – четное) и нечетные гармоники. Первую гармонику называют основной, а остальные – высшими. Последняя форма ряда Фурье удобна в том случае, когда требуется знать процентное содержание каждой гармоники. Эта же форма ряда Фурье применяется при расчете цепей несинусоидального тока. Хотя теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число слагаемых, однако он как правило быстро сходится. а сходящимся рядом можно выразить заданную функцию с любой степенью точности. На практике достаточно взять небольшое число гармоник (3-5) для получения точности расчетов в несколько процентов.

Особенности разложения в ряд Фурье кривых, обладающих симметрией

1. Кривые, среднее за период значение которых равно нулю, не содержат постоянной составляющей (нулевой гармоники). 2
f(ωt)=-f(ωt+π) , то она называется симметричной относительно оси абсцисс. Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если сместить её на полпериода по оси абсцисс, зеркально отобразить и при этом она сольётся с исходной кривой (рис.6.3), то симметрия имеется. При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем отсутствует постоянная составляющая и все четные гармоники, поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(ωt+π).

f(ωt)=sin(ωt+ψ 1 )+sin(3ωt+ψ 3 )+
sin(5ωt +ψ 5 )+···.

3
. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=f(-ωt) , то она называется симметричной относительно оси ординат (четной). Этот вид симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отобразить и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.4). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать синусные составляющие всех гармоник (= f(ωt)=f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)=А о +
cosωt+
cos2ωt+
cos3ωt+···.

4
. Если функция удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt) , то она называется симметричной относительно начала координат (нечетной). Наличие данного вида симметрии легко определить по виду кривой: если кривую, лежащую левее оси ординат развернуть относительно точки начала координат и она сольется с исходной кривой, то симметрия имеется (рис.6.5). При разложении такой кривой в ряд Фурье в последнем будут отсутствовать косинусные составляющие всех гармоник (
= 0), поскольку они не удовлетворяют условию f(ωt)=-f(-ωt). Следовательно, для таких кривых

f(ωt)=
sinωt+
sin2ωt+
sin3ωt+···.

При наличии какой-либо симметрии в формулах для и можно брать интеграл за полпериода, но результат удваивать, т.е. пользоваться выражениями

В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу

Вид симметрии	Аналитическое выражение
1. Оси абсцисс	f(ωt)=-f(ωt+π)		Только нечетные
2. Оси ординат	f(ωt)=f(-ωt)
3. Начала координат	f(ωt)=-f(-ωt)
4. Оси абсцисс и оси ординат	f(ωt)=-f(ωt+π)=f(-ωt)			Нечетные
5. Оси абсцисс и начала координат	f(ωt)=-f(ωt+π)=-f(-ωt)		Нечетные

Раскладывая кривую в ряд Фурье, следует предварительно выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которой позволяет заранее предсказать, какие гармоники будут в ряде Фурье и не выполнять лишней работы.

Графоаналитическое разложение кривых в ряд Фурье

Когда несинусоидальная кривая задана графиком или таблицей и не имеет аналитического выражения, для определения её гармоник прибегают к графоаналитическому разложению. Оно основано на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период функции f(ωt) разбивают на n равных частей Δωt= 2π/n (рис.6.6). Тогда для нулевой гармоники

где: р – текущий индекс (номер участка), принимающий значения от 1 до n ; f р (ωt) – значение функции f(ωt) при ωt=р· Δωt (см. рис.6.6). Для амплитуды синусной составляющей k –ой гармоники

Для амплитуды косинусной составляющей k –ой гармоники

Здесь sin p kωt и cos p kωt - значения sinkωt и coskωt при ωt=р· . В практических расчетах обычно принимают n =18 (Δωt= 20˚) или n =24 (Δωt= 15˚). При графоаналитическом разложении кривых в ряд Фурье еще важнее чем при аналитическом выяснить, не обладает ли она каким-либо видом симметрии, наличие которых существенно уменьшает объем вычислительной работы. Так, формулы для и при наличии симметрии принимают вид

При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для k –ой гармоники в k раз больше, чем для первой.

Максимальное, среднее и действующее значения несинусоидальных величин

Периодические несинусоидальные величины, помимо своих гармонических составляющих, характеризуются максимальным, средним и действующим значениями. Максимальное значение А m – это наибольшее в течение периода значение модуля функции (рис.6.7). Среднее по модулю значение определяется так

.

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс и в течение полупериода ни разу не изменяет знак, то среднее по модулю значение равно среднему значению за полпериода

,

причем в этом случае начало отсчета времени должно быть выбрано так, чтобы f(0)= 0.Если функция за весь период ни разу не изменяет знак, то её среднее по модулю значение равно постоянной составляющей. В цепях несинусоидального тока под величинами ЭДС, напряжений или токов понимают их действующие значения, определяемые по формуле

.

Если кривая разложена в ряд Фурье, то её действующее значение может быть определено следующим образом

Поясним получение результата. Произведение синусоид разной частоты (kω и iω ) представляет собой гармоническую функцию, а интеграл за период от любой гармонической функции равен нулю. Интеграл, находящийся под знаком первой суммы, определялся в цепях синусоидального тока и там было показано его значение. Следовательно,

.

Из этого выражения вытекает, что действующее значение периодических несинусоидальных величин зависит только от действующих значений её гармоник и не зависит от их начальных фаз ψ k . Приведем пример. Пусть u =120
sin(314t +45˚)-50sin(3·314t -75˚) B . Его действующее значение

Бывают случаи, когда среднее по модулю и действующее значения несинусоидальных величин могут быть рассчитаны на основании интегрирования аналитического выражения функции и тогда нет необходимости раскладывать кривую в ряд Фурье. В электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, для характеристики их формы используется ряд коэффициентов. Наибольшее применение получили три из них: коэффициент амплитуды k а, коэффициент формы k ф и коэффициент искажения k и. Они определяются так: k а =A m /A ; /A ср; k и =A 1 /A. Для синусоиды они имеют следующие значения: k а =; k ф =πA m / 2A m ≈1.11; 1. Для кривой прямоугольной формы (рис.6.8,а) коэффициенты таковы: k а =1; k ф =1; k и =1.26/. Для кривой заостренной (пикообразной) формы (рис.6.8,б) значения коэффициентов следующие: k а > и тем выше, чем более пикообразной является её форма; k ф >1.11 и тем выше, чем заостреннее кривая; k и <1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Укажем одно из практических применений коэффициента искажения. Кривые напряжения промышленных сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электроэнергетике вводится понятие практически синусоидальной кривой. По ГОСТ напряжение промышленных сетей считается практически синусоидальным, если наибольшее отличие соответствующих ординат истинной кривой и её первоё гармоники не превышает 5% от амплитуды основной гармоники (рис.6.9). Измерение несинусоидальных величин приборами различных систем дает неодинаковые результаты. Амплитудные электронные вольтметры измеряют максимальные значения. Магнитоэлектрические приборы реагируют только на постоянную составляющую измеряемых величин. Магнитоэлектрические приборы с выпрямителем измеряют среднее по модулю значение. Приборы всех остальных систем измеряют действующие значения.

Расчет цепей несинусоидального тока

Если в цепи действует один или несколько источников с несинусоидальными ЭДС, то её расчет распадается на три этапа. 1. Разложение ЭДС источников на гармонические составляющие. Как это делать рассмотрено выше. 2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи от действия каждой составляющей ЭДС в отдельности. 3. Совместное рассмотрение (суммирование) решений, полученных в п.2. Суммирование составляющих в общем виде чаще всего затруднено и не всегда необходимо, так как на основании гармонических составляющих можно судить как о форме кривой, так и об основных величинах, характеризующих её. О
сновным этапом является второй. Если несинусоидальная ЭДС представлена рядом Фурье, то такой источник можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами (рис.6.10). Применяя принцип наложения и рассматривая действие каждой ЭДС в отдельности, можно определить составляющие токов во всех ветвях цепи. Пусть E o создает I o , e 1 - i 1 , e 2 - i 2 и т.д. Тогда фактический ток i =I o +i 1 +i 2 +··· . Следовательно, расчет цепи несинусоидального тока сводится к решению одной задачи с постоянной ЭДС и ряда задач с синусоидальными ЭДС. При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивное и емкостное сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте, поэтому оно для k –й гармоники x Lk =kωL =kx L1 , т.е. для k –й гармоники оно в k раз больше, чем для первой. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте, поэтому оно для k –й гармоники x Сk =1/kωС =x С1 /k , т.е. для k –й гармоники оно в k раз меньше, чем для первой. Активное сопротивление в принципе тоже зависит от частоты из-за поверхностного эффекта, однако при малых сечениях проводников и при невысоких частотах поверхностный эффект практически отсутствует и допустимо считать, что активное сопротивление для всех гармоник одинаково. Если несинусоидальное напряжение подведено непосредственно к емкости, то для k –й гармоники тока

Чем выше номер гармоники, тем меньше для нее сопротивление емкости. Поэтому даже если амплитуда напряжения гармоники высокого порядка составляет незначительную долю от амплитуды первой гармоники, она все же может вызвать ток, соизмеримый с током основной гармоники или превышающий его. В связи с этим даже при напряжении, близком к синусоидальному ток в емкости может оказаться резко несинусоидальным (рис.6.11). По этому поводу говорят, что емкость подчеркивает токи высоких гармоник. Если несинусоидальное напряжение подведено непосредственно к индуктивности, то для k –й гармоники тока

.

С
увеличением порядка гармоники возрастает индуктивное сопротивление. Поэтому в токе через индуктивность высшие гармоники представлены в меньшей степени, чем в напряжении на ее зажимах. Даже при резко несинусоидальном напряжении кривая тока в индуктивности нередко приближается к синусоиде (рис.6.12). Поэтому говорят, что индуктивность приближает кривую тока к синусоиде. При расчете каждой гармонической составляющей тока можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы, однако недопустимо производить геометрическое суммирование векторов и сложение комплексов напряжений или токов разных гармоник. Действительно, векторы, изображающие скажем токи первой и третьей гармоник, вращаются с разными скоростями (рис.6.13). Поэтому геометрическая сумма этих векторов дает мгновенное значение их суммы только при ω t =0 и в общем случае смысла не имеет.

Мощность несинусоидального тока

Так же как и в цепях синусоидального тока будем вести речь о мощностях, потребляемых пассивным двухполюсником. Под активной мощностью тоже понимают среднее за период значение мгновенной мощности

Пусть напряжение и ток на входе двухполюсника будут представлены рядами Фурье

Подставим значения u и i в формулу Р

Результат получен с учетом того, что интеграл за период от произведения синусоид различных частот равен нулю, а интеграл за период от произведения синусоид одинаковой частоты определялся в разделе цепей синусоидального тока. Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Ясно, что Р k можно определять по любым известным формулам. По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие полной мощности, как произведение действующих значений напряжения и тока, т.е. S=UI . Отношение Р к S называется коэффициентом мощности и приравнивается косинусу некоторого условного угла θ , т.е. cosθ =P/S . На практике очень часто несинусоидальные напряжения и токи заменяют эквивалентными синусоидами. При этом нужно выполнить два условия: 1) действующее значение эквивалентной синусоиды должно равняться действующему значению заменяемой величины; 2) угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока θ должен быть таким, чтобы UI cosθ равнялось бы активной мощности Р . Следовательно, θ - это угол между эквивалентными синусоидами напряжения и тока. Обычно действующее значение эквивалентных синусоид близко к действующим значениям основных гармоник. По аналогии с синусоидальным током для несинусоидального вводится понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей всех гармоник

Для несинусоидального тока в отличие от синусоидального S 2 ≠P 2 +Q 2 . Поэтому здесь вводится понятие мощности искажения Т , характеризующей отличие форм кривых напряжения и тока и определяемой так

Высшие гармоники в трехфазных системах

В трехфазных системах обычно кривые напряжения в фазах В и С точно воспроизводят кривую фазы А со сдвигом на треть периода. Так, если u A =f(ωt) , то u В =f(ωt- 2π/ 3), а u С =f(ωt+ 2π/ 3). Допустим фазные напряжения несинусоидальные и разложены в ряд Фурье. Тогда рассмотрим k –ю гармонику во всех трех фазах. Пусть u Ak =U km sin(kωt+ψ k ), тогда получаем u Вk =U km sin(kωt+ψ k -k 2π/ 3) и u Ck =U km sin(kωt+ψ k +k 2π/ 3). Cравнивая эти выражения при различных значениях k , замечаем, что для гармоник, кратных трем (k =3n , n – натуральный ряд чисел, начиная с 0) во всех фазах напряжения в любой момент времени имеют одно и тоже значение и направление, т.е. образуют систему нулевой последовательности. При k =3n+ 1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой совпадает с последовательностью фактических напряжений, т.е. они образуют систему прямой последовательности. При k =3n- 1 гармоники образуют систему напряжений, последовательность которой противоположна последовательности фактических напряжений, т.е. они образуют систему обратой последовательности. На практике чаще всего отсутствует как постоянная составляющая, так и все четные гармоники, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением только нечетных гармоник. Тогда ближайшая гармоника, образующая обратную последовательность, является пятая. В электродвигателях она наносит наибольший вред, поэтому именно с ней ведут беспощадную борьбу. Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызванные наличием гармоник, кратных трем. 1. При соединении обмоток генератора или трансформатора в треугольник (рис.6.14) по ветвям последнего протекают токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки. Действительно, алгебраическая сумма ЭДС гармоник, кратных трем (E 3 , E 6 и т.д.), в треугольнике имеет утроенное значение, в отличие от остальных гармоник, для которых эта сумма равна нулю. Если фазное сопротивление обмотки для третьей гармоники Z 3 , то ток третей гармоники в контуре треугольника будет I 3 =E 3 /Z 3 . Аналогично ток шестой гармоники I 6 =E 6 /Z 6 и т.д. Действующее значение тока, протекающего по обмоткам будет
. Поскольку сопротивления обмоток генератора малы, то ток может достигать больших величин. Поэтому при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, обмотки генератора или трансформатора в треугольник не соединяют. 2. Если соединить обмотки генератора или трансформатора в открытый треугольник (рис.6.155, то на его зажимах будет действовать напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем, т.е. u BX =3E 3m sin(3ωt+ψ 3)+3E 6m sin(6ωt+ψ 6)+3E 9m sin(9ωt+ψ 9)+···. Его действующее значение

.

Открытый треугольник обычно применяют перед соединением обмоток генератора в обычный треугольник для проверки возможности безаварийной реализации последнего. 3. Линейные напряжения, независимо от схемы соединения обмоток генератора или трансформатора, гармоник, кратных трем, не содержат. При соединении треугольником фазные ЭДС, содержащие гармоники, кратные трем, компенсируются падением напряжения на внутреннем сопротивлении фазы генератора. Действительно, по второму закону Кирхгофа для третьей, например, гармоники для схемы рис.6.14 можно записать U AB3 +I 3 Z 3 =E 3 , откуда получаем U AB3 =0. Аналогично для любой из гармоник, кратных трем. При соединении в звезду линейные напряжения равны разности соответствующих фазных ЭДС. Для гармоник, кратных трем, при составлении этих разностей фазные ЭДС уничтожаются, поскольку они образуют систему нулевой последовательности. Таким образом в фазных напряжениях могут присутствовать составляющие всех гармоник и их действующее значение . В линейных же напряжениях гармоники, кратные трем отсутствуют, поэтому их действующее значение . В связи с этим при наличии гармоник, кратных трем, U л /U ф <
. 4. В схемах без нулевого провода токи гармоник, кратных трем, замыкаться не могут, так как они образуют систему нулевой последовательности и могут замыкаться только при наличии последнего. При этом между нулевыми точками приемника и источника даже в случае симметричной нагрузки появляется напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем, в чем легко убедиться по уравнению второго закона Кирхгофа с учетом того, что токи указанных гармоник отсутствуют. Мгновенное значение этого напряжения u 0 1 0 =E 3m sin(3ωt+ψ 3)+E 6m sin(6ωt+ψ 6)+E 9m sin(9ωt+ψ 9)+···. Его действующее значение
. 5. В схеме звезда-звезда с нулевым проводом (рис.6.16) по последнему будут замыкаться токи гармоник, кратных трем, даже в случае симметричной нагрузки, если фазные ЭДС содержат указанные гармоники. Учитывая, что гармоники, кратные трем, образуют систему нулевой последовательности, можно записать

Начнем с простой схемы, позволяющей рассмотреть основные концепции, которые мы используем в дальнейшем для более сложных схем. На рис. 7.1 показано входное напряжение V BX.p = 1 В, это синусоидальная волна с частотой f =1 кГц и максимальным значением 1 В (действующим значением V вх =√2). Чтобы обеспечить выходное напряжение, которое является нелинейной функцией входного, в качестве усилителя используется источник напряжения Е, управляемый напряжением (ИНУН). В этом примере зависимость выходного напряжения от входного отображается функцией

f (x ) = 1 + х + х ².

Рис. 7.1. Схема с нелинейной связью входного и выходного напряжений

Эта функциональная связь отображается в команде Е c помощью полиномиальных коэффициентов. Общий вид полинома:

f (х ) = k 0 + k 1 х + k 2 х ².

Чтобы перейти к зависимости нашего примера, используем три последних числа команды ввода Е. Мы хотим провести гармонический анализ, чтобы увидеть, какие из гармоник присутствуют в выходном напряжении, но сначала попробуем определить, чего же мы должны ожидать.

Прежде чем перейти к разложению временных зависимостей в ряд Фурье, необходимо выполнить анализ для переходных процессов (программу transient analysis в PSpice).

Поэтому необходимо использовать обе команды.TRAN и.FOUR. Обычно выполняется анализ переходных процессов для полного периода основной частоты. В этом примере f =1 кГц; следовательно, Т =1/f =1 мс. Гармонический анализ отражает частотные компоненты вплоть до девятой гармоники. Для большинства целей этого должно быть более чем достаточно. Если показывать более высокие гармоники, они не будут иметь большого значения из-за накопления ошибки округления в результатах.

Чтобы дать более подробное описание входного напряжения V BX , используем форму sin для описания источника. Параметры sin(а , b , с ,…) означают: а - постоянная составляющая, b - максимальное значение, с - частота, d - задержка, е - коэффициент затухания и f - фаза.

При включении во входной файл команды.FOUR производится гармонический анализ, дающий разложение в ряд Фурье для результатов анализа переходного процесса. Параметры для этой команды включают частоту основной гармоники и переменные, для которых будет получено разложение. В этом примере такими переменными будут периодические функции входного V(1) и выходного V(2) напряжений. Входной файл:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); аргументы для смещения, максимума и частоты

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; последние 3 значения для k0, k1, k2

Проведите анализ, затем получите графики V(1) и (V)2. Убедитесь, что V(1) - точная копия входного напряжения V ВХ. Выходное напряжение должно показать компоненту постоянного тока и сложную волну с максимумом в 3 В. Из теоретического изучения рядов Фурье можно заключить, что этот график напоминает периодическую волну, состоящую из основной и второй гармоник. Целесообразно распечатать копию этого графика для будущего изучения. На рис. 7.2 показаны эти графики.

Рис. 7.2. Графики напряжений v 1 и v 2 для схемы на рис. 7.1

Рассмотрим также выходной файл для этой схемы (рис. 7.3), на котором показаны следующие значения для напряжений узлов: V(1)=0 В и V(2)=1 В. Это означает, что хотя входной сигнал не имеет смещения, выходное напряжение имеет смещение V(2)=1 В.

На рис. 7.3 в таблице компонентов ряда Фурье для V(1) не все компоненты имеют реальные значения. Так, значение постоянной составляющей теоретически должно быть равно нулю, но анализ дает очень малое значение 3.5Е-10, не равное в точности нулю из-за накопления ошибки округления.

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000); arguments are offset, peak, and frequency

E 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; last 3 1s are for k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000Е+03 3.134Е-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000Е-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126Е-08 5.126Е-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000Е+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268Е+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189Е+02 -1.189Е+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.999939E+01 PERCENT

Рис. 7.3. Выходной файл с результатами анализа схемы на рис. 7.1

Первая гармоника представляет собой основную гармонику при f =1 кГц. Показана амплитуда первой гармоники ряда Фурье и ее фаза 2.4Е-7 (тоже почти ноль). Если считать, что этот компонент выражен формулой

b n sin(nx ),

то это означает, что b 1 =1, n =1, где индекс 1 соответствует основной частоте. Другие гармоники могут игнорироваться, так как их амплитуды на много порядков меньше основной гармоники. Именно основная гармоника отражена на графике V(1) в Probe, получена она из данных на рис. 7.3.

Другая таблица компонентов Фурье на рис. 7.3 относится к V(2). При просмотре различных гармоник обратите внимание, что имеется постоянная составляющая в 1,5 В. Почему 1,5 В? Составляющая k 0 =1 В дает только часть этого значения, остальные же 0,5 В связаны со второй гармоникой. Теория показывает, что при гармоническом искажении по второй гармонике в выходном напряжении кроме собственно второй гармоники с амплитудой b 2 появляется и связанная с искажениями по второй гармонике постоянная составляющая со значением b 0 =b 2 . Амплитуда основной частоты в разложении равна b 1 =1 В, амплитуда второй гармоники b 2 =0,5 В, ее фазовый угол составляет -90°. Более высокие гармоники имеют намного меньшую величину и их можно не учитывать.

В качестве упражнения по гармоническому синтезу вы можете нарисовать отдельные гармоники и сложить их, чтобы предсказать результат, который вы получите в Probe для V(2). Не забудьте учесть постоянную составляющую и соответствующие амплитуды и фазы для основной и второй гармоник. После того как вы нарисуете результирующее колебание, вам, несомненно, будет приятно узнать, что PSpice может сделать эту нудную работу за вас.

Сложение гармоник и разложение на гармонические составляющие

Создадим новый входной файл, соответствующий рис. 7.4, на котором к схеме рис. 7.1 добавлены еще два независимых источника тока.

Мы использовали два источника только для того, чтобы вы могли получить основную и вторую гармоники на одном графике с выходным напряжением. Дополнительные источники питают подключенный параллельно 1-омный резистор. Такое изменение первоначальной схемы совсем не обязательно, просто оно оказалось удобным при данном наборе параметров. Новый входной файл представляет собой расширение предыдущего файла и выглядит следующим образом:

Fourier Analysis; Decomposition of Polynomial

Vin 1 0 sin(0 1 1000);аргументы - смещение, амплитуда и частота

Е 2 0 poly(1) 1,0 1 1 1; последние 3 записи for k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0.5 0.5 2000 0 0 -90)

Рис. 7.4. Схема для анализа сложения гармоник и разложения в ряд Фурье

Перед выполнением анализа подробно рассмотрим описания для i 1 и i 2 . Для гармонического синтеза используются результаты разложения в ряд Фурье из предыдущей задачи. Убедитесь, что вы понимаете смысл всех параметров; затем выполните анализ в Probe, получив графики I(i1), I(i2) и I(r). Хотя они и представляют собой токи, но численно они равны напряжениям, так как проходят через сопротивление в 1 Ом. На рис. 7.5 представлены результаты. Теперь можно установить, что первый график представляет собой основную гармонику, второй - вторую гармонику, а третий - результат сложения их в резисторе r . Конечно, можно получить график V(3) вместо I(r). При этом ось Y будет размечена в единицах напряжения, а не тока. Убедитесь, что сумма двух первых кривых дает третью кривую в различные моменты времени. Чтобы сделать график более компактным, мы использовали смещение в 1 В для основной гармоники и в 0,5 В - для второй гармоники. Фактически основная гармоника имеет нулевое смещение.

Рис. 7.5. Основная и вторая гармоники и результат их сложения

Искажение по второй гармонике в усилителях

Когда рабочая область усилителя выходит за пределы линейной части характеристики, это приводит к некоторым искажениям. Первое приближение к реальной выходной кривой достигается включением в модель второй гармоники, показывающей, что переходная функция, связывающая i c и i b (ток коллектора и базы), является некоторой параболой. Обычно искажение намного меньше, чем принятое в нашем первом, вводном, примере, который был показан на рис. 7.1. Более точный полином задается формулой

f (x ) = 0,1 + x + 0,2x ².

Достаточно просто преобразовать первоначальный входной файл, чтобы он отражал эту ситуацию. Команда ввода для зависимого источника Е примет вид:

Е 2 0 poly(1) 1,0 0.1 1 0.2; последние три величины для k0, k1, k2

а весь входной файл будет:

Проведите анализ и получите в Probe графики V(1) и V(2). Вы увидите, что обе волны выглядят, как настоящие синусоиды. Для более точного сравнения удалите график V(2) и получите вместо него график V(2)–0,1. Это позволит сблизить обе кривые. При сравнении волн не забудьте, что V(1) представляет собой просто синусоидальный сигнал, a V(2) - комбинацию основной и второй гармоник. В этом примере вторая гармоника значительно меньше по амплитуде, чем в предыдущем. Вы можете распечатать результаты исследования, приведенные на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Основная и вторая гармоники и результат их сложения

Выйдя из программы Probe, рассмотрите выходной файл для этого случая. Входное напряжение V(1) точно такое же, как и в предыдущем примере, но V(2), конечно, отличается. Обратите внимание, что постоянная составляющая выходного напряжения равна 0.2 В, а вторая гармоника при f =2 кГц имеет амплитуду 0,1 В и фазовый угол -90°. Другие гармоники намного меньше и ими можно пренебречь. В заключение определите общее гармоническое искажение, которое очень близко к 10%, как и ожидалось. Искажение по второй гармонике определено как b 1 /b 2 где b 1 и b 2 - коэффициенты при второй и основной гармониках соответственно. Эти данные приведены на рис. 7.7.

Fourier Analysis; Second-Harmonic Distortion, Power Amplifier

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994Е-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134Е-09 -9.107Е+01 -9.107Е+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706Е+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 2.208405E-06 PERCENT

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2)

HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 9.999880E+00 PERCENT

Рис. 7.7. Результаты анализа искажений по второй гармонике в усилителях

Интермодуляционные искажения

Используем простую схему (рис. 7.8), чтобы показать, как две синусоидальные волны объединяются в нелинейном устройстве, использующем довольно близкие друг к другу частоты, а именно f 1 =1 кГц и f 2 =1,5 кГц. Нелинейное смешивание происходит в зависимом источнике е-типа VCVS (ИНУН). Полином, описывающий связь, содержит больше членов, чем в предыдущем примере:

f (x ) = 1 + x + х ² + x ³.

Рис. 7.8. Схема для демонстрации интермодуляционных искажений

Токи, суммируясь, создают в R= 1 Ом напряжение V(1), численно равное току в R. Таким образом, входное напряжение V(1) можно воспринимать как напряжение в нелинейном смесителе. Поскольку синусоидальные волны имеют различные частоты, их сумма представляет собой сложное периодическое колебание с частотой, отличной от частоты исходных составляющих (частотой биений). Входной файл:

Проведите моделирование и получите в Probe V(1). Выберите Plot, X-Axis Settings…, User Defined, и установите диапазон от 0 до 10 мс, чтобы достичь установившегося входного напряжения. Этот график показан на рис. 7.9. Чтобы подтвердить, что он является фактически суммой гармонических составляющих с частотами 1 и 1,5 кГц, выберем Trace, Fourier, переходя из временной в частотную область. Изменим теперь границы по оси X , установив частотный диапазон от 4 до 12 кГц. Убедитесь, что параметры осей соответствуют нужным частотам и ожидаемым амплитудам. Фактически при f =1 кГц напряжение равно 0,991 В, а при f =1,5 кГц оно составляет 0,979 В. Не забывайте, что при этом синтезе присутствует некоторая ошибка накопления. На рис. 7.10 показана соответствующая амплитудно-частотная характеристика.

Рис. 7.9. Выходное напряжение при интермодуляционных искажениях

Рис. 7.10. Спектральный состав входного напряжения

Выберите затем Trace, End Fourier, чтобы возвратиться во временную область, удалите график V(1) и получите график напряжения на выходе смесителя V(2). Напомним, что смеситель представляет собой ИНУН с полиномиальной связью, заданной функцией f (х ). Временная зависимость представляет собой график, подобный графику V(1), но при более внимательном рассмотрении можно обнаружить, что формы напряжений значительно отличаются. Кое-какие подсказки можно получить из гармонического состава этого сложного колебания, так что необходимо будет опять перейти в частотную область, выбрав диапазон по оси X от 0 до 5 кГц. Мы рекомендуем распечатать частотный спектр для дальнейшего изучения. Теоретический анализ компонентов частотной модуляции позволяет предсказывать и проверять результаты анализа на PSpice. Обратите внимание, что имеется постоянная составляющая в 2 В наряду со значительными составляющими в интервале от 0,5 до 4,5 кГц (смотри рис. 7.11 для частотного спектра).

Рис. 7.11. Спектральный состав выходного напряжения

Сложение гармоник

Простейшим для теоретического анализа является случай гармонического воздействия на цепь, состоящую из линейных компонентов, таких как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, и, как вы знаете, при этом реакция представляет собой гармоническое колебание с той же частотой входного сигнала. Различные падения напряжения в схеме также представляют собой гармонические колебания с той же частотой, отличающиеся только по амплитуде и фазе. Используем простую схему, чтобы проиллюстрировать некоторые из этих свойств. На рис. 7.12 показаны три источника напряжения, питающие схему, содержащую резисторы R= 1 Ом и R 1 =R 2 =0,001 Ом. Последние два резистора требуются, чтобы сделать источники напряжения неидеальными. Используя эту схему, мы можем показать сложение синусоидальных волн в Probe. Входной файл:

Addition of Sine Waves of the Same Frequency

*Порядок следования параметров в сложном выражении для гармонических

*составляющих: смещение, амплитуда, частота, задержка, затухание, фаза

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); фаза=45 градусов

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); фаза=90 градусов

Рис. 7.12. Схема для сложения гармонических сигналов одной частоты

Выполните моделирование и в Probe получите графики v(1), v(2), и v=v(1)+v(2). Возникающие в результате графики показывают напряжение v 2 с максимумом, отстающим приблизительно на 45° от максимума v 1 , и суммарное напряжение v 1 +v 2 с максимумом, расположенным между их максимальными значениями. Убедитесь, что максимум v 1 =1 В достигается в момент 251 мкс (90°), максимум v 2 =1 В - в момент 131 мкс (47,16°) и максимум v 1 +v 2 =1,8381 В - в момент 171 мкс (61,56°). Удалите эти графики и получите временные зависимости для других комбинаций напряжений, например, для v(1), v(3) и v(1)+v(3). Основываясь на вашем умении складывать векторы напряжений, попытайтесь предсказать значение амплитуды для суммы напряжений до того, как получите графики в Probe, показанные на рис. 7.13.

Рис. 7.13. Результат сложения гармонических сигналов одной частоты

Сложение основной и второй гармоник

Во входном файле, соответствующем схеме на рис. 7.12, можно легко варьировать параметры и состав источников питания. Удалим v 3 и удвоим частоту напряжения v 2 , чтобы она стала частотой второй гармоники для v 1 . Конечно, результирующее колебание сразу станет несинусоидальным. Фактически форма его будет зависеть от соотношения фазовых углов v 1 и v 2 . Пусть в рассматриваемом примере обе гармоники достигают максимума одновременно. Входной файл для такого случая:

Adding Sine Waves; Fundamental and 2nd Harmonic Peaking Together

Проведите моделирование и получите в Probe графики v(1), v(2), и v=v(1)+v(2). Поскольку v 1 и v 2 достигают максимума одновременно, максимум результирующего колебания равен 2 В, но когда основная гармоника достигает отрицательного максимума, вторая гармоника возвращается к положительному максимуму, и их сумма обращается в нуль. Ясно, что суммарное колебание (v 1 +v 2) несинусоидально. Эти графики приведены на рис. 7.14.

Рис. 7.14. Результат сложения первой и второй гармоник

Амплитудная модуляция

Интересный график колебания, модулируемого по амплитуде, может быть получен в PSpice при использовании функции перемножения гармонических колебаний с существенно различными частотами. На рис. 7.15 показана схема, моделирующая такое устройство. Первым гармоническим источником является v 1 с частотой 1 кГц. Второй источник v 2 имеет частоту 20 кГц. Перемножение осуществляется в зависимом источнике е, представляющем собой ИНУН (VCVS). Резисторы необходимы, чтобы избежать появления плавающих потенциалов. Входной файл:

e 3 0 poly (2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Рис. 7.15. Умножитель для модуляции синусоидального колебания

Пять последних записей в команде ввода полиномиального источника: 0 0 0 0 1. Вспомним, что это - значения коэффициентов в членах k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 и k 4 v 1 v 2 . Все значения равны 0 за исключением k 4 , который равен 1.

Проведите моделирование и получите в Probe графики v(1) и v(3). На общем графике намеренно не построена гармоническая составляющая с частотой 20 кГц, чтобы не усложнять понимание процессов. Результирующее колебание v(3) имеет классический вид амплитудно-модулированного колебания. В этом примере обе входные гармоники v 1 и v 2 имеют амплитуду 1 В. Графики приведены на рис. 7.16.

Рис. 7.16. Результат исследования амплитудно-модулированных сигналов

Не выходя из Probe, добавьте график другого входного напряжения v(2) так, чтобы отобразить все напряжения: v(1), v(2) и v(3). Теперь этот график содержит, наряду с двумя другими волнами, и несущую, давая законченное изображение. Получите распечатку для дальнейшего изучения, затем удалите график v(2) и выберите Trace, Fourier. Установите по оси X границы диапазона от 0 до 30 кГц. В частотной области теперь отображаются составляющие с частотами 1,19 и 21 кГц. Последние компоненты представляют собой верхнюю и нижнюю побочные частоты, возникшие при такой модуляции. Определите амплитуду каждой из этих волн. Вспомните тригонометрическое тождество,

(sin a )(sin b ) = 0.5,

которое объясняет амплитуды 0,5 В для частот боковой полосы. Обратитесь к рис. 7.17, на котором изображен частотный спектр. (Маркеры были удалены для получения более ясной картинки.) Проведите анализ с различными относительными амплитудами для напряжения модуляции v 1 , чтобы видеть, какое влияние это оказывает на глубину модуляции т . Например, когда v 1 имеет амплитуду 0,8, что является глубиной модуляции и что напоминает результирующее колебание?

Рис. 7.17. Частотный спектр амплитудно-модулированного колебания

Обзор новых команд PSpice, применяемых в данной главе

.FOUR<частота>*<выходные переменные>

Например, запись

показывает, что выполняется разложение в ряд Фурье. Разложение может быть выполнено только после получения временной зависимости для установившегося режима, полученной при анализе переходного процесса. Такая команда должна присутствовать во входном файле:

TRAN <шаг><момент окончания>

Задачи

Гармонический анализ дает постоянную составляющую основную гармонику, и все гармоники до девятой включительно. Показаны их амплитуды и фазы с фактическими и относительными значениями. В предшествующем примере были проанализированы V(1) и V(2) и их компоненты. Обычно для осуществления гармонического анализа используют команду .PROBE: однако вместо нее могут использоваться также команды .PRINT или .PLOT.

7.1. На рис. 7.18 полином для Е имеет форму

f (x ) = х + х ².

Рис. 7.18

При использовании v i,пик =1 В, f =1 кГц и V= 1 В сравните v 0 с v i . Предскажите приблизительный гармонический состав выходного напряжения; затем выполните анализ на PSpice, который покажет гармонический состав как входного, так и выходного напряжений. В команде.FOUR используйте напряжения V(2, 1) и V(3). Исследуйте выходной файл и определите гармонический состав V(3).

7.2. В задаче 7.1, используйте Trace, Fourier, чтобы получить гармонический состав V(3). Отображая V(2,1) и V(3), установите по оси X границы от 0 до 5 кГц.

7.3. Выполните анализ для задачи 7.1 при

f (x ) = 2 + 0,1x ².

Предскажите приблизительный гармонический состав выходного напряжения; затем получите графики V(2,1) и V(3), чтобы проверить точность ваших предсказаний.

7.4. На рис. 7.4 показан полиномиальный источник Е. Он был задан как

f (х ) = 1 + х + х ².

Замените полином на

f (х ) = х + х ²,

и выполните синтез и разложение, изменяя i 1 и i 2 так, чтобы ток I(r) повторял по форме напряжение V(2).

7.5. В разделе «Искажение по второй гармонике в усилителях» настоящей главы замените полином на следующий:

f (х ) = 0,05 + х + 0,1х ²,

и проведите анализ на PSpice так, как предложено в тексте. Получите график V(1) и (V)2–0,05, чтобы сравнить переменные составляющие входного и выходного напряжений. Предскажите значения постоянной составляющей выходного напряжения, амплитуды и фазы второй гармоники и общего гармонического искажения. Проверьте ваши предсказания, пользуясь результатами Probe и выходного файла.

7.6. В разделе «Интермодуляционные искажения» мы объединили две синусоидальные волны различных частот. Выполните анализ при частотах f 1 =2 кГц и f 2 = 2,5 кГц, оставив выражение для f (х ) без изменения. Измените команду.TRAN соответственно задаче. Выполняйте операции в том же порядке, что и в текстовом примере, чтобы проверить ваши предсказания о гармоническом составе выходного напряжения.

7.7. В разделе «Сложение гармоник» на рис. 7.12 показаны параллельные ветви с тремя источниками напряжения. Сложение гармоник было скорее математическим, чем физическим. Измените схему так, чтобы все источники напряжения были включены последовательно, затем выполните анализ снова. Получили ли вы те же результаты?

7.8. Выполните анализ, чтобы сложить следующие гармонические напряжения одной частоты f =1 кГц:

v 1 = 0,5∠0°В, v 2 =1∠45°В и v 23 =1,5∠90° В.

При этом:

а) Найдите максимальное значение (v 1 +v 2), а также момент времени и фазовый угол, при котором достигается максимум.

б) Повторите пункт а) для (v 1 +v 3).

При использовании режима курсора и нескольких графиков на одном экране используйте клавишу [Ctrl ] и стрелки ← и →, чтобы выбрать, по какому из графиков должен двигаться курсор.

7.9. Чтобы иллюстрировать эффект сложения гармоник с близкими частотами, выполните анализ, как в задаче 7.8, для следующего набора параметров: v 1 =1∠0° В, f 1 =1 кГц, v 1 =1∠0° В, f 2 =1,2 кГц, v 1 =1∠0° В и f 3 =1,4 кГц:

а) Получите графики v 1 , v 2 и (v 1 +v 2). Найдите максимальное значение (v 1 +v 2).

б) Получите графики v 1 , v 3 и (v 1 +v 3). Найдите максимальное значение (v 1 +v 3).

7.10. Решите задачу из раздела, касающегося амплитудной модуляции, положив v 1 =1 В при 1 кГц, и изменив v 1 так, чтобы глубина модуляции равнялась 0,5. Выполните анализ на PSpice, чтобы показать полученные результаты.

В предыдущей главе мы познакомились с другой точкой зрения на колеблющуюся систему. Мы видели, что в струне возникают различные собственные гармоники и что любое частное колебание, которое только возможно получить из начальных условий, можно рассматривать как составленную в надлежащей пропорции комбинацию нескольких одновременно осциллирующих собственных гармоник. Для струны мы нашли, что собственные гармоники имеют частоты ω 0 , 2ω 0 , Зω 0 , ... . Поэтому наиболее общее движение струны складывается из синусоидальных колебаний основной частоты ω 0 , затем второй гармоники 2ω 0 , затем третьей гармоники Зω 0 и т. д. Основная гармоника повторяется через каждый период T 1 =2π/ω 0 , вторая гармоника — через каждый период T 2 =2π/2ω 0 ; она повторяется также и через каждый период Т 1 =2Т 2 , т. е. после двух своих периодов. Точно таким же образом через период Т 1 повторяется и третья гармоника. В этом отрезке укладываются три ее периода. И снова мы понимаем, почему задетая струна через период Т 1 полностью повторяет форму своего движения. Так получается музыкальный звук.

До сих пор мы говорили о движении струны. Однако звук, который представляет собой движение воздуха, вызванное движением струны, тоже должен состоять из тех же гармоник, хотя здесь мы уже не можем говорить о собственных гармониках воздуха. К тому же относительная сила различных гармоник в воздухе может быть совсем другой, чем в струне, особенно если струна «связана» с воздухом посредством «звучащей доски». Разные гармоники по-разному связаны с воздухом.

Если для музыкального тона функция f (t ) представляет давление воздуха в зависимости от времени (скажем, такая, как на фиг. 50.1,6), то можно ожидать, что f (t ) записывается в виде суммы некоторого числа простых гармонических функций от времени (подобных cos ωt ) для каждой из различных гармонических частот. Если период колебаний равен Т, то основная угловая частота будет ω=2π/T, а следующие гармоники будут 2ω, Зω и т. д.

Здесь появляется небольшое усложнение. Мы не вправе ожидать, что для каждой частоты начальные фазы обязательно будут равны друг другу. Поэтому нужно пользоваться функциями типа cos (ωt + φ)- Вместо этого, однако, проще использовать для каждой частоты как синус, так и косинус. Напомним, что

а поскольку φ — постоянная, то любые синусоидальные колебания с частотой со могут быть записаны в виде суммы членов, в один из которых входит sin ωt, а в другой — cos ωt.

Итак, мы приходим к заключению, что любая периодическая функция f (t ) с периодом Т математически может быть записана в виде

где ω=2π/T , а а и b — числовые постоянные, указывающие, с каким весом каждая компонента колебания входит в общее колебание f (t ). Для большей общности мы добавили в нашу формулу член с нулевой частотой а 0 , хотя обычно для музыкальных тонов он равен нулю. Это просто сдвиг средней величины звукового давления (т. е. сдвиг «нулевого» уровня). С этим членом наша формула верна для любого случая. Уравнение (50.2) схематически показано на фиг. 50.2. Амплитуды гармонических функций а n и b n выбираются по специальному правилу. На рисунке они показаны только схематически без соблюдения масштаба. [Ряд (50.2) называется рядом Фурье для функций f (t ).]

Мы сказали, что любую периодическую функцию можно написать в таком виде. Следует внести небольшую поправку и подчеркнуть, что в такой ряд можно разложить вообще любую звуковую волну или любую функцию, с которой мы сталкиваемся в физике. Математики, конечно, могут придумать такую функцию, что ее нельзя будет составить из простых гармонических (например, функцию, которая «заворачивает» назад, так что для некоторых величин t она имеет два значения!). Однако здесь нам не стоит беспокоиться о таких функциях.