Так называется еще один вид интегральных преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разнообразных задач, связанных с изучением сигналов.
Понятие комплексной частоты.
Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону .
Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида , где - комплексное число: получившее название комплексной частоты.
Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу:
где - комплексно-сопряженная величина.
Действительно, при этом
В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы. Так, если , но получаются обычные гармонические колебания вида Если же то в зависимости от знака получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда . Здесь множитель описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени. Некоторые типичные сигналы изображены на рис. 2.10.
Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это дает - возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы.
Рис. 2.10. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты
Существенно и другое соображение: экспоненциальные сигналы вида (2.53) служат «естественным» средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах. Эти вопросы будут изучены в гл. 8.
Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота со служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части о комплексной частоты специального термина не существует.
Основные соотношения.
Пусть - некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определенный при t > 0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной , задаваемая интегралом:
Сигнал называется оригиналом, а функция - его изображением по Лапласу (для краткости, просто изображением).
Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.54), заключается в следующем: сигнал должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при т. е. должен удовлетворять неравенству где - положительные числа.
При выполнении этого неравенства функция существует в том смысле, что интеграл (2.54) абсолютно сходится для всех комплексных чисел , у которых Число а называют абсциссой абсолютной сходимости.
Переменная в основной формуле (2.54) может быть отождествлена с комплексной частотой Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда формула (2.54) переходит в формулу (2.16), определяющую Фурье-преобразование сигнала, который равен нулю при Таким образом, преобразование Лапласа можно рассмотри
Подобно тому как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье
следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной к комплексному аргументу а На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяженной вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при дифференциал , формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид
В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают «хорошими» свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости , за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило, - полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычисления интегралов вида (2.55) можно использовать гибкие методы теории вычетов.
На практике широко применяются таблицы преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами. и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах радиотехнических устройств и систем. В Приложениях к имеется такая таблица, позволяющая решать достаточно широкий круг задач.
Примеры вычисления преобразований Лапласа.
В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмотрим наиболее характерные случаи.
Пример 2.4, Изображение обобщенного экспоненциального импульса.
Пусть , где - фиксированное комплексное число. Наличие -функции обусловливает равенство при Воспользовавшись формулой (2.54), имеем
Если то числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие
Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса:
и комплексного экспоненциального сигнала:
Наконец, положив в (2.57) , находим изображение функции Хевисайда:
Пример 2.5. Изображение дельта-функции.
Одним из способов решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) с постоянными коэффициентами является метод интегральных преобразований, который позволяет функцию вещественной переменной (оригинал функции) заменить функцией комплексной переменной (изображение функции). В результате операции дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов преобразуются в алгебраическое умножение и деление в пространстве функций-изображений. Одним из представителей метода интегральных преобразований является Преобразование Лапласа.
Непрерывное преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексной переменной (изображение функции) с функцией вещественной переменной (оригинал функции). При этом функция вещественной переменной должна удовлетворять следующим условиям:
Функция определена и дифференцируема на всей положительной полуоси вещественной переменной (функция удовлетворяет условиям Дирихле);
Значение функции до начального момента приравнивают к нулю 
;
Возрастание функции ограничена экспоненциальной функцией, т.е. для функции вещественной переменной существуют такие положительные числа М
и с
, что 
при , где c
– абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).
Преобразованием Лапласа (прямое интегральное преобразование) от функции вещественной переменной называется функция следующего вида (функция от комплексной переменной):
Функцию называют оригиналом функции, а функцию называют ее изображением. Комплексная переменная 
называется оператором Лапласа, где - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число.
В качестве первого примера определим изображение для постоянной функции 
В качестве второго примера определим изображение для косинусоидальной функции 
. С учетом формулы Эйлера косинусоидальную функцию можно представить в виде суммы двух экспонент 
.
На практике для выполнения прямого преобразования Лапласа используются таблицы преобразований, в которых представлены оригиналы и изображения типовых функций. Ниже представлены некоторые из данных функций.
Оригинал и изображение для экспоненциальной функции
Оригинал и изображение для косинусоидальной функции
Оригинал и изображение для синусоидальной функции
Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего косинуса
Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего синуса
Следует отметить, что функция является функцией Хевисайда, которая принимает значение ноль при отрицательных значениях аргумента и принимает значение равное единице для положительных значений аргумента.
Свойства Преобразования Лапласа
Теорема линейности
Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. любое линейное соотношение между оригиналами функции справедливо для изображений этих функций.
Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений, так как позволяет изображение функции представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого представленного слагаемого.
Теорема о дифференцировании оригинала функции
Дифференцирование оригинала функции соответствует умножению
При ненулевых начальных условиях:
При нулевых начальных условиях (частный случай):
Таким образом, операция дифференцирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.
Теорема об интегрировании оригинала функции
Интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения функции на оператор Лапласа.
Таким образом, операция интегрирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.
Теорема подобия
Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) во временной области приводит к обратному изменению аргумента и ординаты изображения функции.
Увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра.
Теорема запаздывания
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу оригинала функции на интервал приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на заданную величину без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.
Полученное выражение справедливо для любого
Теорема смещения
Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу изображения функции приводит к умножению оригинала функции на экспоненциальный множитель
Теорема смещения с практической точки зрения применяется при определении изображений экспоненциальных функций.
Теорема о свертке
Свертка является математической операцией, применённая к двум функциям и , порождающая третью функцию. Другими словами, имея реакцию некой линейной системы на импульс, можно с помощью свёртки вычислить реакцию системы на весь сигнал.
Таким образом, свертка оригиналов двух функций может быть представлена в виде произведения изображений этих функций. Теорему сверки используют при рассмотрении передаточных функций, когда определяется реакция системы (выходной сигнал от четырехполюсника) при подаче сигнал на вход четырехполюсника с импульсной переходной характеристикой .
Линейный четырехполюсник
Обратное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа является обратимым, т.е. функция вещественной переменной однозначно определяется из функции комплексной переменной . Для этого используется формула обратного преобразования Лапласа (формула Меллина, интеграл Бромвича), которая имеет следующий вид:
В данной формуле пределы интегрирования означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, которая параллельна мнимой оси и пересекает вещественную ось в точке . С учетом того, что последние выражение может быть переписано в следующем виде:
На практике для выполнения обратного преобразования Лапласа изображение функции раскладывают на сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов и для каждой дроби (в соответствии со свойством линейности) определяют оригинал функции, в том числе с учетом таблицы типовых функций. Данный способ справедлив для изображения функции, которая является правильной рациональной дробью. Следует отметить, что простейшая дробь может быть представлена в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами в зависимости от типа корней знаменателя:
В случае наличия нулевого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:
В случае наличия нулевого n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия действительного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:
В случае наличия действительного n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия мнимого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
В случае наличия комплексно-сопряжённых корней 
в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа: 
∙ В общем случае если изображение функции представляет собой правильную рациональную дробь (степень числителя меньше степени знаменателя рациональной дроби), то ее можно разложить на сумму простейших дробей.
∙ В частном случае если знаменатель изображения функции раскладывается только на простые корни уравнения, то изображение функции можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом:
Неизвестные коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов или упрощенным способом по следующей формуле:
Значение функции в точке ;
Значение производной функции в точке .
Преобразование Лапласа. Когда система описывается дифференциальными и интегральными уравнениями часто удобно воспользоваться преобразованием Лапласа для их расчёта. При этом уравнения становятся алгебраическими. При этом упрощённо можно считать ПЛ разложением сигнала на синусоиды и экспоненты. Для дискретных сигналов ПЛ называется Z-преобразованием.
Суть преобразования Лапласа
Преобразование Фурье
Различным функциям вещественых перемещений времени t ПЛ ставят в соответствие функции комплексного перемещения p и наоборот.
Преобразование Лапласа
р=σ+jω – оператор дифференцирования
Изображение функции по Лапласу представляет собой комплексную плоскость, где по оси действительных значений отложено σ, по оси мнимых значений – величины jω. При этом каждая точка плоскости является величиной комплексной и может быть представлена в алгебраической или полярной нотации. Для того, чтобы найти изображение по Лапласу, исходный сигнал перемножают на различные экспоненты e -σt . Если σ 0, то правая полуплоскость. Для каждого из этих произведений находят преобразование Фурье и располагают вдоль оси мнимых значений. Верхняя и нижняя полуплоскости будут зеркальными, если исходный сигнал представлен действительной функцией.
Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.
Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.
Преобразованием Лапласа называют соотношение
ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) - изображением или изображением по Лапласу и s - переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение - одноименной прописной буквой.
Предполагается, что функция x (t ), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:
1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интервале , где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8 Лекция 7 ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ Операторные входные и передаточные функции Полюсы и нули функций цепей 3 Выводы Операторные входные и передаточные функции Операторной функцией цепи называют отношение
68 Лекция 7 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА План 1 Переходные процессы в RC-цепях первого порядка 2 Переходные процессы в R-цепях первого порядка 3 Примеры расчета переходных процессов в цепях
4 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА 4.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ. ПРИНЦИП ГЕНЕРИРОВАНИЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 4.1.012. Синусоидальным называется ток, мгновенное
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Физико-технический факультет Кафедра оптоэлектроники
~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная