Спектральный анализ сигнала преобразование фурье. Анализ фурье

Любая волна сложной формы может быть представлена как сумма простых волн.

Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы (см. Теплообмен). Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке: Фурье сопровождал Наполеона во французской экспедиции в Египет и прожил там некоторое время. Чтобы достичь своей цели, Фурье должен был разработать новые математические методы. Результаты его исследований были опубликованы в 1822 году в работе «Аналитическая теория тепла» (Theorie analytique de la chaleur ), где он рассказал, как анализировать сложные физические проблемы путем разложения их на ряд более простых.

Метод анализа был основан на так называемых рядах Фурье . В соответствии с принципом интерференции ряд начинается с разложения сложной формы на простые — например, изменение земной поверхности объясняется землетрясением, изменения орбиты кометы — влиянием притяжения нескольких планет, изменение потока тепла — его прохождением сквозь препятствие неправильной формы из теплоизолирующего материала. Фурье показал, что сложная форма волны может быть представлена как сумма простых волн. Как правило, уравнения, описывающие классические системы, легко решаются для каждой из этих простых волн. Далее Фурье показал, как эти простые решения можно суммировать, чтобы получить решение всей сложной задачи в целом. (Говоря языком математики, ряд Фурье — это метод представления функции суммой гармоник — синусоид и косинусоид, поэтому анализ Фурье был известен также под названием «гармонический анализ».)

До появления компьютеров в середине ХХ столетия методы Фурье и им подобные были лучшим оружием в научном арсенале при наступлениях на сложности природы. Со времени появления комплексных методов Фурье ученые смогли использовать их для решения уже не только простых задач, которые можно решить прямым применением законов механики Ньютона и других фундаментальных уравнений. Многие великие достижения ньютоновской науки в XIX веке фактически были бы невозможны без использования методов, впервые предложенных Фурье. В дальнейшем эти методы применялись в решении задач в различных областях — от астрономии до машиностроения.

Жан-Батист Жозеф ФУРЬЕ
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Французский математик. Родился в Осере; в возрасте девяти лет остался сиротой. Уже в юном возрасте проявил способности к математике. Фурье получил образование в церковной школе и военном училище, затем работал преподавателем математики. На протяжении всей жизни активно занимался политикой; был арестован в 1794 году за защиту жертв террора. После смерти Робеспьера был выпущен из тюрьмы; принимал участие в создании знаменитой Политехнической школы (Ecole Polytechnique) в Париже; его положение послужило ему плацдармом для продвижения при режиме Наполеона. Сопровождал Наполеона в Египет, был назначен губернатором Нижнего Египта. По возвращении во Францию в 1801 году был назначен губернатором одной из провинций. В 1822 году стал постоянным секретарем Французской академии наук — влиятельная должность в научном мире Франции.

Спектральный анализ (Spectral analysis)

Спектральный анализ - это широкий класс методов обработки данных, в основе которых лежит их частотное представление , или спектр. Спектр получается в результате разложения исходной функции, зависящей от времени (временной ряд) или пространственных координат (например, изображения), в базис некоторой периодической функции. Наиболее часто для спектральной обработки используется спектр Фурье, получаемый на основе базиса синуса (разложение Фурье, преобразование Фурье).

Основной смысл преобразования Фурье в том, что исходная непериодическая функция произвольной формы, которую невозможно описать аналитически и поэтому сложно обрабатывать и анализировать, представляется в виде набора синусов или косинусов с различной частотой, амплитудой и начальной фазой.

Иными словами, сложная функция преобразуется в множество более простых. Каждая синусоида (или косинусоида) с определенной частотой и амплитудой, полученная в результате разложения Фурье, называется спектральной составляющей или гармоникой . Спектральные составляющие образуют спектр Фурье .

Визуально спектр Фурье представляется в виде графика, на котором по горизонтальной оси откладывается круговая частота, обозначаемая греческой буквой «омега», а по вертикали – амплитуда спектральных составляющих, обычно обозначаемая латинской буквой A. Тогда каждая спектральная составляющая может быть представлена в виде отсчета, положение которого по горизонтали соответствует ее частоте, а высота – ее амплитуде. Гармоника с нулевой частотой называется постоянной составляющей (во временном представлении это прямая линия).

Даже простой визуальный анализ спектра может много сказать о характере функции, на основе которой он был получен. Интуитивно понятно, что быстрые изменения исходных данных порождают в спектре составляющие с высокой частотой, а медленные – с низкой . Поэтому если в нем амплитуда составляющих быстро убывает с увеличением частоты, то исходная функция (например, временной ряд) является плавной, а если в спектре присутствуют высокочастотные составляющие с большой амплитудой, то исходная функция будет содержать резкие колебания. Так, для временного ряда это может указывать на большую случайную составляющую, неустойчивость описываемых им процессов, наличие шумов в данных.

В основе спектральной обработки лежит манипулирование спектром. Действительно, если уменьшить (подавить) амплитуду высокочастотных составляющих, а затем на основе измененного спектра восстановить исходную функцию, выполнив обратное преобразование Фурье, то она станет более гладкой за счет удаления высокочастотной компоненты.

Для временного ряда, например, это означает убрать информацию об ежедневных продажах, которые сильно подвержены случайным факторам, и оставить более устойчивые тенденции, например, сезонность. Можно, наоборот, подавить составляющие с низкой частотой, что позволит убрать медленные изменения, а оставить только быстрые. В случае временного ряда это будет означать подавление сезонной компоненты.

Применяя спектр таким образом, можно добиваться желаемого изменения исходных данных. Наиболее часто используется сглаживание временных рядов путем удаления или уменьшения амплитуды высокочастотных составляющих в спектре.

Для манипуляций со спектрами используются фильтры – алгоритмы, способные управлять формой спектра, подавлять или усиливать его составляющие. Главным свойством любого фильтра является его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), от формы которой зависит преобразование спектра.

Если фильтр пропускает только спектральные составляющие с частотой ниже некоторой граничной частоты, то он называется фильтр нижних частот (ФНЧ), и с его помощью можно сглаживать данные, очищать их от шума и аномальных значений .

Если фильтр пропускает спектральные составляющие выше некоторой граничной частоты, то он называется фильтром верхних частот (ФВЧ). С его помощью можно подавлять медленные изменения, например, сезонность в рядах данных.

Кроме этого, используется множество других типов фильтров: фильтры средних частот, заградительные фильтры и полосовые фильтры, а также более сложные, которые применяются при обработке сигналов в радиоэлектронике. Подбирая тип и форму частотной характеристики фильтра, можно добиться желаемого преобразования исходных данных путем спектральной обработки.

Выполняя частотную фильтрацию данных с целью сглаживания и очистки от шума, необходимо правильно указать полосу пропускания ФНЧ. Если ее выбрать слишком большой, то степень сглаживания будет недостаточной, а шум будет подавлен не полностью. Если она будет слишком узкой, то вместе с шумом могут оказаться подавленными и изменения, несущие полезную информацию. Если в технических приложениях существуют строгие критерии для определения оптимальности характеристик фильтров, то в аналитических технологиях приходится использовать в основном экспериментальные методы.

Спектральный анализ является одним из наиболее эффективных и хорошо разработанных методов обработки данных. Частотная фильтрация – только одно из его многочисленных приложений. Кроме этого, он используется в корреляционном и статистическом анализе, синтезе сигналов и функций, построении моделей и т.д.

1

Для контроля дорожной обстановки на трассах с большой интенсивностью движения широко используются камеры видео наблюдения. Информация, поступающая с видеокамер, содержит данные о временном изменении пространственного положения автомобилей, находящихся в поле зрения системы. Обработка этой информации на основе алгоритмов, используемых в телевизионных измерительных системах (ТИС), позволяет определить скорость движения транспортных средств и обеспечить управление транспортными потоками. Именно этими факторами объясняется возрастание интереса к телевизионному мониторингу транспортных магистралей.

Для разработки методов фильтрации изображений транспортных средств на фоне помех необходимо знание их основных параметров и характеристик. Ранее авторами проведено исследование Фурье и вейвлет спектров природных и городских фонов . Настоящая работа посвящена исследованию аналогичных спектров транспортных средств.

  • с помощью цифровой фотокамеры был создан банк исходных.bmp файлов монохромных изображений транспортных средств различных типов (легковые и грузовые автомобили, автобусы, по каждой группе количество изображений составляло 20-40 при различных ракурсах и условиях освещения); изображения имели размеры 400 пикселей по горизонтали и 300 пикселей - по вертикали; диапазон изменения яркости от 0 до 255 единиц;
  • поскольку изображения содержали кроме транспортного средства также фоновую составляющую, для предотвращения ее влияния на результат она была искусственно подавлена до нулевого уровня;
  • производился анализ характеристик изображений транспортных средств методами Фурье и вейвлет анализа.

Разработанная в среде MATLAB программа позволяет рассчитывать среднюю яркость (т.е. математическое ожидание яркости изображения), дисперсию яркости, Фурье-спектр отдельных и суммарных строк изображений, спектрограммы, а также вейвлет-спектры с использованием различных известных вейвлетов (Хаара, Добеши, Симлета и др.). Результаты анализа отражаются в виде двумерных и 3D спектров изображений.

По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

  • усредненные яркостные характеристики (средняя яркость, дисперсия) изображений различных транспортных средств имеют близкие значения для всех типов; существенное влияние на яркостные характеристики оказывают солнечные блики от стекол и поверхностей автомобиля; в зависимости от интенсивности и направления освещения автомобили черного цвета могут иметь яркостные характеристики, аналогичные светлым автомобилям;
  • независимо от типа транспортного средства Фурье и вейвлет спектры имеют сходную структуру;
  • ширина Фурье спектра транспортных средств слабо зависит от типа автомобиля; спектр имеет существенно неравномерную структуру, изменяющуюся при изменении освещения и ориентации автомобиля; спектр в горизонтальной плоскости имеет более неравномерную структуру, чем в вертикальной; на спектральные характеристики полугрузовых автомобилей и автобусов большое влияние оказываю рисунки и надписи (рекламы) на его поверхностях;
  • при повороте автомобилей существенно изменение спектров изображений в горизонтальной плоскости, спектр в вертикальной плоскости остается достаточно стабильным; это особенно хорошо видно на вейвлет спектрах;
  • анализ спектров отдельного транспортного средства и транспортного средства на фоне помех показывает, что они отличаются уровнями амплитуд спектральных составляющих; при отсутствии фона существенно равномернее вертикальный спектр; для изображений автомобилей без фона больше вероятность глубоких провалов в спектре (выше неравномерность), огибающая спектра изображений с фоном равномернее, чем без фона;
  • проведенные исследования показали, что из-за сильного влияния большого числа факторов спектральные характеристики транспортных средств (как полученные с помощью Фурье-анализа, так и вейвлет-анализа) не позволяют выделить устойчивые спектральные признаки изображений транспортных средств; это снижает эффективность спектральной фильтрации изображений, проводимую для подавления фона;
  • в автоматизированных системах контроля дорожного движения для выделения автомобилей на фоне помех необходимо использовать комплекс признаков, таких как цвет, спектр, геометрические параметры объектов (размеры и соотношения размеров) и динамические характеристики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Макарецкий Е.А., Нгуен Л.Х. Исследование характеристик изображений природных и городских фонов// Изв. Тульск. Гос. Ун-та. Радиотехника и радиооптика. - Тула, 2005. - Т. 7.- С.97-104.

Библиографическая ссылка

Макарецкий Е.А. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУРЬЕ И ВЕЙВЛЕТ СПЕКТРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ // Фундаментальные исследования. – 2006. – № 12. – С. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (дата обращения: 15.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

В Mathcad есть встроенные средства быстрого преобразования Фурье (БПФ), которые существенно упрощают процедуру приближенного спектрального анализа.

БПФ - быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной 2 m (m - целое число) отсчетами во временной области, в частотную область.

элементов:

Рис.3 Спектральный анализ с использованием БПФ

Функция fft(v )реализует прямое БПФ возвращает прямое БПФ 2 m -мерного вектора v , где v - вектор, элементы которого хранят отсчеты функции f (t ). Результатом будет вектор А размерности 1 + 2 m - 1 с комплексными элементами - отсчетами в частотной области. Фактически действительная и мнимая части вектора есть коэффициенты Фурье a k и b k , что существенно упрощает их получение.

Функция ifft(v ) реализует обратное БПФ - возвращает обратное БПФ для вектора v с комплексными элементами. Вектор v имеет 1 + 2 m – 1

Фильтрация аналоговых сигналов

Ø Определение Фильтрация - выделение полезного сигнала из его смеси с мешающим сигналом - шумом. Наиболее распространенный тип фильтрации - частотная фильтрация. Если известна область частот, занимаемых полезным сигналом, достаточно выделить эту область и подавить те области, которые заняты шумом.

Используя прямое БПФ, сигнал с шумом преобразуется из временной области с частотную, что создает вектор f из 64 частотных составляющих.

Затем выполняется фильтрующее преобразовании с помощью функции Хевисайда

Ф(х ) - Ступенчатая функция Хевисайда .

Возвращает 1, если х 0; иначе 0.

Отфильтрованный сигнал (вектор g ) подвергается обратному БПФ и создает вектор выходного сигнала h .

Сравнение временных зависимостей исходного и выходного сигналов, показывает, что выходной сигнал почти полностью повторяет входной и в значительной мере избавлен от высокочастотных шумовых помех, маскирующих полезный сигнал

Рис.4. Фильтрация аналоговых сигналов

Рис.4 иллюстрирует технику фильтрации с применением БПФ.Сначала синтезируется исходный сигнал, представленный 128 отсчетами вектора v . Затем к этому сигналу присоединяется шум с помощью генератора случайных чисел (функция rnd ) и формируется вектор из 128 отсчетов зашумленного сигнала.

.
Порядок выполнения лабораторной работы

Задание 1. Вычислить первые шесть пар коэффициентов разложения в ряд Фурье функции f (t ) на отрезке .

Построить графики 1, 2 и 3 гармоник.

Выполнить гармонический синтез функции f (t ) по 1, 2 и 3 гармоникам. Результаты синтеза отобразить графически.

Варианты задания 1

№ f (t ) № варианта f (t ) № варианта f (t )
cos e |sin 3 t|

Задание 2. Выполнить классический спектральный анализ и синтез функции f (t ). Отобразить графически спектры амплитуд и фаз, результат спектрального синтеза функции f (t ).


Задание 3. Выполнить численный спектральный анализ и синтез функции f (t ). Для этого необходимо задать исходную функцию f (t ) дискретно в 32 отсчетах. Отобразить графически спектры амплитуд и фаз, результат спектрального синтеза функции f (t ).

Задание 4. Выполнить спектральный анализ и синтез функции f (t ) с помощью БПФ. Для этого необходимо:

· задать исходную функцию f (t ) дискретно в 128 отсчетах;

· выполнить прямое БПФ с помощью функции fft и отобразить графически найденные спектры амплитуд и фаз первых шести гармоник;

· выполнить обратное БПФ с помощью функции ifft и отобразить графически результат спектрального синтеза функции f (t ).

Задание 5. Выполнить фильтрацию функции f (t ) с помощью БПФ:

· синтезировать функцию f (t ) в виде полезного сигнала, представленного 128 отсчетами вектора v ;

· к полезному сигналу v присоединить шум с помощью функции rnd (rnd (2) - 1) и сформировать вектор из 128 отсчетов зашумленного сигнала s ;

· преобразовать сигнал с шумом s из временной области в частотную, используя прямое БПФ (функция fft ). В результате получится сигнал f из 64 частотных составляющих;

· выполнить фильтрующее преобразование с помощью функции Хевисайда (параметр фильтрации  = 2);

· с помощью функции ifft выполнить обратное БПФ и получить вектор выходного сигнала h ;

· построить графики полезного сигнала v и сигнала, полученного фильтрацией зашумленного сигнала s .

Тема 1. «Логика высказываний»

Задание

1. Установить, является ли данная формула тождественно-истинной.

2. Данное высказывание записать в виде формулы логики высказываний. Построить отрицание данного высказывания в виде формулы, не содержащей внешних знаков отрицания. Перевести на естественный язык.

3. Установить, является ли данное рассуждение правильным, (проверить, следует ли заключение из конъюнкции посылок).


Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ

Вариант №1

3. Если человек принял какое-то решение, и он правильно воспитан, то он преодолеет все конкурирующие желания. Человек принял решение, но не преодолел конкурирующих желаний. Следовательно, он неправильно воспитан.

Вариант №2

2. Идет дождь, и идет снег.

3. Если данное явление психическое, то оно обусловлено внешним воздействием на организм. Если оно физиологическое, то оно тоже обусловлено внешним воздействием на организм. Данное явление не психическое и не физиологическое. Следовательно, оно не обусловлено внешним воздействием на организм.

Вариант №3

2. Он хороший студент или хороший спортсмен.

3. Если подозреваемый совершил кражу, то, либо она была тщательно подготовлена, либо он имел соучастников. Если бы кража была тщательно подготовлена, то, если бы были соучастники, украдено было бы много. Украдено мало. Значит, подозреваемый невиновен.

Вариант №4

2. Если стальное колесо нагреть, то его диаметр увеличится.

3. Если курс ценных бумаг растет, или процентная ставка снижается, то падает курс акций. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не падает, либо курс ценных бумаг не растет. Курс акций понижается. Следовательно, снижается процентная ставка.

Вариант № 5

3. Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь самоубийством, то записка была найдена. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил жизнь самоубийством. Записка была найдена. Следовательно, Генри покончил жизнь самоубийством.

Вариант №6

2. Он учится в институте или на курсах иностранных языков.

3. Если философ – дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист.

Вариант №7

2. Он способный и прилежный.

3. Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастет. Безработица не возрастет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.

Вариант №8

2. Эта книга сложная и неинтересная.

3. Если исходные данные корректны и программа работает правильно, то получается верный результат. Результат неверен. Следовательно, исходные данные некорректны или программа работает неправильно.

Вариант №9

2. Он и жнец, и швец, и на дуде игрец.

3. Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработная плата высока..

Вариант №10

2. Если воду охлаждать, то объем ее будет уменьшаться.

3. Если я устал, я хочу вернуться домой. Если я голоден, я хочу вернуться домой или пойти в ресторан. Я устал и голоден. Поэтому я хочу вернуться домой.

Вариант №11

2. Если число оканчивается нулем, оно делится на 5.

3. Если завтра будет холодно, то я надену теплую куртку, если рукав будет починен. Завтра будет холодно, и рукав не будет починен. Значит, я не надену теплую куртку.

Вариант №12

2. Тело, лишенное опоры, падает на землю.

3. Если будет идти снег, машину будет трудно вести. Если будет трудно вести машину, я опоздаю, если не выеду пораньше. Идет снег, и я выеду пораньше. Значит, я не опоздаю.

Вариант №13

2. Иван и Петр знают Федора.

3. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду и явно не заблуждается. Значит, он сознательно вводит в заблуждение других.

Вариант №14

2. Эта книга полезная и интересная.

3. Если бы он был умен, то он увидел бы свою ошибку. Если бы он был искренен, то он признался бы в ней. Однако, он не умен и не искренен. Следовательно, он или не увидит свою ошибку, или не признается в ней.

Вариант № 15

2. Этот актер играет в театре и не играет в кино.

3. Если человек является материалистом, то он признает познаваемость мира, Если человек признает познаваемость мира, то он не является агностиком. Следовательно, если человек не является последовательным материалистом, то он – агностик.

Вариант №16

2. Если собаку дразнить, она укусит

3. Если в мире есть справедливость, то злые люди не могут быть счастливы. Если мир есть создание злого гения, то злые люди могут быть счастливы. Значит, если в мире есть справедливость, то мир не может быть созданием злого гения

Вариант №17

2. Если вы владеете английским языком, вы справитесь с этой работой.

3. Если Иванов работает, то он получает зарплату. Если же Иванов учится, то он получает стипендию. Но Иванов не получает зарплату или не получает стипендию. Следовательно, он не работает или не учится.

Вариант №18

2. Если функция нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат.

3. Если я лягу спать, то не сдам экзамен. Если я буду заниматься ночью, то тоже не сдам экзамен. Следовательно, я не сдам экзамен.

Вариант №19

2. Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.

3. Если я пойду завтра на первую лекцию, то должен буду встать рано. Если я пойду вечером на дискотеку, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, а встану рано, я буду плохо себя чувствовать. Следовательно, я должен пропустить первую лекцию или не ходить на дискотеку.

Вариант №20

2. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы.

3. Если x 0 и y 0, то x 2 + y 2 > 0. Если x = 0 и y = 0, то выражение (x – y ):(x + y ) не имеет смысла. Неверно, что x 2 + y 2 > 0. Следовательно, не имеет смысла выражение (x – y ):(x + y ).

Вариант №21

2. Иван и Марья любят друг друга.

3. Если книга, которую я читаю, бесполезная, то она несложная. Если книга сложная, то она неинтересная. Эта книга сложная и интересная. Значит, она полезная.

Вариант №22

2. Плох тот солдат, который не мечтает стать генералом.

3. Если завтра будет дождь, я надену плащ. Если будет ветер, я надену куртку. Следовательно, если не будет дождя и ветра, я не надену ни плаща, ни куртки.

Вариант №23

2. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

3. Если он не трус, то он поступит в соответствии с собственными убеждениями. Если он честен, то он не трус. Если он не честен, то он не признает своей ошибки. Он признал свою ошибку. Значит, он не трус.

Вариант №24

2. Ни Иван, ни Федор не отличники.

3. Если он упрям, то он может ошибаться. Если он честен, то он не упрям. Если он не упрям, то он не может одновременно не ошибаться и быть честным. Значит, он не упрям.

Вариант № 25

2. Либо Иван, либо Петр знают Федора.

3. Если зарплату выдают вовремя, то ожидаются либо выборы, либо акция протеста. Зарплату выдали вовремя. Выборы не ожидаются. Значит, ожидается акция протеста.

Вариант № 26

2. Если составить алгоритм и написать программу, то можно решить эту задачу.

3. Если человек занимается спортом, то он здоров. Если человек здоров, то он счастлив, Этот человек занимается спортом. Значит, он счастлив.

Вариант № 27

2. Вечером мы пойдем на хоккей или будем смотреть его по телевизору.

3. Антон переутомился или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следовательно, он болен.

Вариант № 28

2. Если я не выспался или голоден, я не могу заниматься.

3. Если фирма ориентирована на усиление маркетинга, то она намерена получить крупную прибыль на выпуске новых товаров. Если фирма предусматривает расширение торговой сети, то она намерена получить крупную прибыль от увеличения продаж. Фирма предусматривает усиление маркетинга или собирается расширить торговую сеть, Следовательно, она намерена получить крупную прибыль.

Вариант № 29

2. Если налоги не будут снижены, то мелкие производители разорятся и оставят производство.

3. Контракт будет выполнен тогда и только тогда, когда дом будет закончен в феврале. Если дом будет закончен в феврале То мы можем переехать в марте. Контракт будет выполнен, Следовательно, мы можем переехать в марте.

Вариант № 30

2. Если наша команда не займет первое место, мы останемся дома и будем тренироваться.

3. Намеченная программа удастся, если застать противника врасплох или если его позиции плохо защищены. Захватить его врасплох можно, если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Значит, программа не удастся.

Тема 2. Линейная парная регрессия

Эта тема включает выполнение шести лабораторных работ, посвященных построению и исследованию уравнения линейной регрессии вида

Пример 1.1 .

Для определения зависимости между сменной добычей угля на одного рабочего (переменная Y , измеряемая в тоннах) и мощностью угольного пласта (переменная X , измеряемая в метрах) на 10 шахтах были проведены исследования, результаты которых представлены таблицей.

i
x i
y i

Лабораторная работа № 1

Вычисление коэффициентов уравнения ЛР

Цель работы Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии по пространственной выборке.

Расчетные соотношения. Коэффициенты, определяемые на основе метода наименьших квадратов, являются решением системы уравнений

Решая эту систему уравнений, получаем

,

где m XY – выборочное значение корреляционного момента, определенного по формуле:

,

– выборочное значение дисперсии величины X , определяемой по формуле:

Решение

Вычислим эти коэффициенты , используя табличный процессор Excel. На рисунке показан фрагмент документа Excel, в котором:

а) размещены данные таблицы;

б) запрограммировано вычисление коэффициентов , системы;

в) запрограммировано вычисление b 0 , b 1 по формулам.

Заметим, что для вычисления средних значений используется функция Excel СРЗНАЧ (диапазон ячеек ).

В результате выполнения запрограммированных вычислений получаем

b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,

а само уравнение регрессии примет вид

Задание . Используя полученное уравнение регресии, определите производительность труда шахтера, если толщина угольного слоя равна:

а) 8.5 метров (интерполяция данных);

б) 14 метров (экстраполяция данных).

Рис. 1.Вычисление коэффициентов линейной регрессии


Лабораторная работа № 2

Вычисление выборочного коэффициента корреляции

Цель работы. Вычисление выборочного коэффициента корреляции по пространственной выборке.

Расчетные соотношения. Выборочный коэффициент корреляции определяется соотношением

где , , .

Решение

Фрагмент документа Excel, вычисляющего величины: коэффициента корреляции

Рис. 2. Вычисление коэффициента корреляции


Лабораторная работа № 3

Вычисление оценок дисперсий парной ЛР

Цель работы. Вычислить оценки для дисперсий коэффициентов b 0 , b 1 ,.

Расчетные соотношения. Оценки для дисперсий коэффициентов определяются формулами:

,

где - оценка дисперсии .

Решение. На рис.3 показан фрагмент документа Excel, в котором выполнены вычисления оценок дисперсий . Заметим, что

· значения коэффициентов взяты из лабораторной работы № 1 и ячейки (В1,В2), в которых они находятся, имеют абсолютную адресацию ($В$1, $В$2) в выражениях, вычисляющих значения регрессии ;

· значение (ячейка В19) взято из лабораторной работы № 1.Получаем следующие значения:

.

Рис. 3. Вычисление оценок для дисперсий коэффициентов


Лабораторная работа №4

Функции Excel для коэффициентов парной ЛР

Цель работы. Вычислить коэффициенты уравнения линейной регрессии по пространственной выборке, используя функцииExcel.

Приведем некоторые статистические функции Excel, полезные при построении парной линейной регрессии.

Функция ОТРЕЗОК.

ОТРЕЗОК(диапазон_значений_ ; диапазон_значений_ ).

Функция НАКЛОН. Вычисляет коэффициент и обращение имеет вид

НАКЛОН(диапазон_значений_ ; диапазон_значений_ ).

Функция ПРЕДСКАЗ. Вычисляет значение линейной парной регрессии при заданном значении независимой переменной (обозначена через ) и обращение имеет вид

ПРЕДСКАЗ( ;диапазон_значений_ ;диапазон_значений_ ).

Функция СТОШYX. Вычисляет оценку для среднеквадратического отклонения возмущений и обращение имеет вид (YX – латинские буквы):

СТОШYX(диапазон_значений_ ; диапазон_значений_ ).

Решение. Фрагмент документа Excel, вычисляющего требуемые величины приведен. Обратите внимание на использовании абсолютной адресации при вычислении .

Рис. 4. Использование функций Excel

Задание. Сравните вычисленные значения с значениями, полученными в лабораторных работах №1 и № 3.

Лабораторная работа № 5

Построение интервальной оценки для функции парной ЛР

Цель работы. Построение интервальной оценки для функции регрессии с надежностью g = 0.95, используя для этого уравнение регрессии , построенное в лабораторной работе № 1.

Расчетные соотношения. Интервальная оценка (доверительный интервал) для (при заданном значении ) с надежностью (доверительной вероятностью) равной g определяется выражением

Оценка для дисперсии функции имеет вид

,

где - оценка дисперсии .

Таким образом, две величины (зависит от ) и , вычисляемая с помощью функции Excel:

СТЬЮДРАСПОБР().

Решение. Значения нижней и верхней границ интервала будем вычислять для .

Фрагмент документа, осуществляющий эти вычисления, приведен на рисунке


Рис.5. Построение интервальной оценки для

Величины , , (ячейки В16:В18) и коэффициенты (В1:В2) взяты из предыдущих лабораторных работ. Величина = СТЬЮДРАСПОБР() = 2.31.

Лабораторная работа № 6

Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера

Цель работы. По данным таблицы оценить на уровне a = 0.05 значимость уравнения регрессии

,

построенного в лабораторной работе № 1.

Расчетные соотношения. Уравнение парной регрессии значимо с уровнем значимости a, если выполняется следующее неравенство:

где F g; 1; n -2 – значения квантиля уровня g F -распределения с числами степеней свободы k 1 = 1 и k 2 = n – 2.

Для вычисления квантиля можно использовать следующее выражение

FРАСПОБР().

Суммы определяются выражениями:

, .

Критерий часто называют критерием Фишера или F-критерием.

Решение. Приведен фрагмент документа Excel, вычисляющего значения Q e , и критерий F . В столбце D значения вычисляются по формуле . Значения коэффициентов взяты из лабораторной работы № 1.

Получены следующие значения , , . Вычисляем квантиль F 0.95; 1; 8 = 5.32. Неравенство выполняется, т. к. 24.04 > 5.32 и поэтому уравнение регрессии значимо с уровнем значимости a = 0.05.

Рис. 6. Вычисление величины F – критерия


Тема 3 Нелинейная парная регрессия

Эта тема включает выполнение двух лабораторных работ, посвященных построению уравнения нелинейной парной регрессии. Пространственная выборка для построения регрессии взята из следующего примера.

Пример В таблице приведены значения независимой переменной (доход а семьи в тысяч рублей) и значения зависимой переменной (доля расходов на товары длительного пользования в процентах от общей суммы расходов).

13.4 15.4 16.5 18.6 19.1

Лабораторная работа № 7

Построение нелинейной регрессии с использованием

Команды «Добавить линию тренда»

Цель работы Используя пространственную выборку необходимо построить уравнение нелинейной регрессии вида с использованием команды «Добавить линию тренда» и вычислить коэффициент детерминации .

Команда «Добавить линию тренда». Используется для выделения тренда (медленных изменений) при анализе временных рядов.

Однако эту команду можно использовать и для построения уравнения нелинейной регрессии, рассматривая в качестве времени независимую переменную .

Эта команда позволяет построить следующие уравнения регрессии:

· линейную

· полиноминальную ();

· логарифмическую

· степенную ;

· экспоненциальную .

Для построения одной из перечисленных регрессий необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1. В выбранном листе Excel ввести по столбцам исходные данные .

Шаг 2. По этим данным построить график в декартовый системе координат.

Шаг 3. Установить курсор на построенном графике, сделать щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить команду Добавить линию тренда

Шаг 4. В появившемся диалоговом окне активизировать закладку «Тип» и выбрать нужное уравнение регрессии.

Рис. 2.1. Построение графика по исходным данным

Рис. 2.2. Выбор вида уравнения регрессии

Шаг 5. Активизировать закладку «Параметры» и «включить» необходимые для нас опции:

· «Показать уравнение на диаграмме» - на диаграмме будет показано выбранное уравнение регрессии с вычисленным коэффициентами;

Рис. 2.3. Задание опций вывода информации

· «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» - на диаграмме будет показана значение коэффициент детерминации (для нелинейной регрессии -индекс детерминации), вычисляемый по формуле

· Если по построенному уравнению регрессии необходимо выполнить прогноз, то нужно указать число периодов прогноза.

Назначение других опций понятны из своих названий.

Шаг 6. После задания всех перечисленных опций щелкнуть на кнопке «OK» и на диаграмме появиться формула построенного уравнения регрессии и значение индекса детерминации (выделено затемнением).

Рис. 2.4. График и уравнение построенной регрессии

Решение. Построение уравнения осуществляем по описанным выше шагам. Получаем уравнение

,

для которого коэффициент детерминации равен . Такая величина говорит о хорошем соответствии построенного уравнения исходным данным.

Лабораторная работа № 8

Выбор наилучшей нелинейной регрессии

Цель работы. Используя пространственную выборку и команду «Добавить линию тренда» построить шесть уравнений нелинейной регрессии (полиномиальное уравнение строится при и ), определить для каждого уравнения коэффициент детерминации (значение выводится), приведенный коэффициент детерминации (значение вычисляется) и по максимальному значению найти наилучшее уравнение нелинейной регрессии.

Приведенный коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации характеризует близость построенной регрессии к исходным данным, которые содержат «нежелательную» случайную составляющую . Очевидно, что, построив по данным полином 5-ого порядка, получаем «идеальное» значение , по такое уравнение содержит в себе не только независимую переменную , но составляющую и это снижает точность использования построенного уравнения для прогноза.

Поэтому при выборе уравнения регрессии надо учитывать не только величину , но и «сложность» регрессионного уравнения, определяемое количеством коэффициентов уравнения.

Такой учет удачно реализован в так называемом приведенном коэффициенте детерминации:

,

где - количество вычисляемых коэффициентов регрессии. Видно, что при неизменных увеличение уменьшает значение . Если количество коэффициентов у сравниваемых уравнений регрессии одинаково (например, ), то отбор наилучшей регрессии можно осуществлять по величине . Если в уравнениях регрессии меняется число коэффициентов, то такой отбор целесообразно по величине .

Решение. Для построения каждого уравнения выполняем шаги 2 – 6 (для первого уравнения еще и шаг 1) и размещаем в одном документе шесть окон, в которых выводятся найденные уравнения регрессии уравнения и величина . Затем формулу уравнения и заносим в таблицу. Далее вычисляем приведенный коэффициент детерминации и заносим эти значения также в таблицу.

В качестве «наилучшего» уравнения регрессии выбираем уравнение, имеющее наибольшую величину приведенный коэффициент детерминации . Таким уравнением является степенная функции (в таблице строка с этой функцией выделена серым цветом).

, имеющая величину = 0.9901.

№ Уравнение
0.949 0.938
0.9916 0.9895
(полиноминальная, ) 0.9896 0.9827
(полиноминальная, ) 0.9917 0.9792
0.9921 0.9901
0.9029 0,8786

Задание. Определить по величине «наихудшее» уравнение регрессии.

Тема 4. Линейная множественная регрессия

Эта тема включает выполнение лабораторных работ, посвященных построению и исследованию уравнения линейной множественной регрессии вида

Пространственная выборка для построения этого уравнения взята из следующего примера.

Пример Данные о сменной добыче угля на одного рабочего (переменная Y ), мощности пласта (переменная X 1 и уровнем механизации работ в шахте (переменная X 2) , характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах приведены в таблице. Предполагая, что между переменными Y, X 1 , X 2 существует линейная зависимость, необходимо найти аналитическое выражение для этой зависимости, т.е. построить уравнение линейной регрессии.

Номер шахты i x i 1 x i 2 ,т.е. матрица

а) обратиться к Мастеру функций и выбрать нужную категорию функций, затем указать имя функции и задать соответствующие диапазоны ячеек,

б) ввести с клавиатуры имя функции задать соответствующие диапазоны ячеек.

Транспонирование матрицы осуществляется с помощью функции ТРАНСП (категория функций – Ссылки и массивы

ТРАНСП (диапазон ячеек ),

где параметр диапазон ячеек задает все элементы транспонируемой матрицы (или вектора).

Умножение матриц осуществляется с помощью функции МУМНОЖ (категория функций – Математические ).Обращение к функции имеет вид:

МУМНОЖ(диапазон_1;диапазон_2 ),

где параметр диапазон_1 задает элементы первой из перемножаемых матриц, а параметр диапазон_2 – элементы второй матрицы. При этом перемножаемые матрицы должны иметь соответствующие размеры (если первая матрица , вторая - , то результатом будет матрица ).

Обращение матрицы (вычисление обратной матрицы) осуществляется с помощью функции МОБР (категория функций – Математические ). Обращение к функции имеет вид:

МОБР (диапазон ячеек ),

где параметр диапазон ячеек задает все элементы обращаемой матрицы, которая должна быть квадратной и невырожденной.

При использовании этих функций необходимо соблюдать следующий порядок действий:

· выделить фрагмент ячеек , в которые будет занесен результат выполнения матричных функций (при этом надо учитывать размеры исходных матриц);

· ввести арифметическое выражение , содержащее обращение к матричным функциям Excel;

· одновременно нажать клавиши , , . Если этого не сделать, то вычислится только один элемент результирующей матрицы или вектора.

Режим Регрессия модуля Анализ данных. Табличный процессор Excel содержит модуль Анализ данных. Этотмодуль позволяет выполнить статистический анализ выборочных данных (построение гистограмм, вычисление числовых характеристик и т.д.). Режим работы Регрессия этого модуля осуществляет вычисление коэффициентов линейной множественной регрессии с переменными, построение доверительные интервалы и проверку значимости уравнения регрессии.

Для вызова режима Регрессия модуля Анализ данных необходимо:

· обратиться к пункту менюСервис ;

· в появившемся меню выполнить команду Анализ данных;

· в списке режимов работы модуля Анализ данных выбрать режим Регрессия и щелкнуть на кнопке Ok .

После вызова режимаРегрессия на экране появляется диалоговое окно, в котором задаются следующие параметры:

1. Входной интервал Y – вводится диапазон адресов ячеек, содержащих значения (ячейки должны составлять один столбец).

Рис. 3.2. Диалоговое окно режима Регрессия

2. Входной интервал X – вводится диапазон адресов ячеек, содержащих значения независимых переменных. Значения каждой переменной представляются одним столбцом. Количество переменных не более 16 (т.е. ).

3. Метки – включается если первая строка во входном диапазоне содержит заголовок. В этом случае автоматически будут созданы стандартные названия.

4. Уровень надежности – при включении этого параметра задается надежность при построении доверительных интервалов.

5. Константа-ноль – при включении этого параметра коэффициент .

6. Выходной интервал – при включении активизируется поле, в которое необходимо ввести адрес левой верхней ячейки выходного диапазона, который содержит ячейки с результатами вычислений режима Регрессия.

7. Новый рабочий лист – при включении этого параметра открывается новый лист, в который начиная с ячейки А1 вставляются результаты работы режима Регрессия.

8. Новая рабочая книга - при включении этого параметра открывается новая книга на первом листе которой начиная с ячейки А1 вставляются результаты работы режима Регрессия.

9. Остатки – привключении вычисляется столбец, содержащий невязки .

10. Стандартизованные остатки – при включении вычисляется столбец, содержащий стандартизованные остатки.

После этого режим Регрессия и в диалоговом окне зададим необходимые параметры. Заметим, из-за большой «ширины» таблиц, в которых выводятся результаты работы режима Регрессия, часть результатов помещены в другие ячейки.

Дадим краткую интерпретацию показателям, значения которых вычисляются в режиме Регрессия. Первоначально рассмотрим показатели, объединенные названием Регрессионная статистика (см. рис. 3.3).

Множественный - корень квадратный из коэффициента детерминации.

квадрат – коэффициент детерминации .

Рис. 3.3. Результаты работы режима Регрессия

Нормированный квадрат – приведенный коэффициент детерминации (см. формулу (2.1)).

Стандартная ошибка – оценка для среднеквадратического отклонения .

Наблюдения – число наблюдений .

Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.

Преобразование Фурье является основоположником спектрального анализа. Спектральный анализ – это способ обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. В зависимости от того, каким образом представлен сигнал, используют разные преобразования Фурье. Различают несколько видов преобразования Фурье:

– Непрерывное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Continue Time Fourier Transform – CTFT или, сокращенно, FT );

– Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Discrete Fourier Transform – DFT );

– Быстрое преобразование Фурье (в англоязычной литературе Fast Fourier transform – FFT ).

Непрерывное преобразование Фурье

Преобразование Фурье является математическим инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии. Непрерывное преобразование фактически является обобщением рядов Фурье при условии, что период разлагаемой функции устремить к бесконечности. Таким образом, классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.

Существует несколько видов записи непрерывного преобразования Фурье, отличающихся друг от друга значением коэффициента перед интегралом (две формы записи):

или

где и - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

- круговая частота.

Следует отметить, что разные виды записи встречаются в различных областях науки и техники. Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. В математической литературе прямое и обратное преобразование Фурье умножаются на множитель , в то время как в физике чаще всего при прямом преобразовании множитель не ставят, а при обратном ставят множитель . Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.

Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

Таким образом, непрерывное преобразование Фурье позволяет представить непериодическую функцию в виде интеграла функции, представляющей в каждой своей точке коэффициент ряда Фурье для непериодической функции.

Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию . Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида (две формы записи):

или

где - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

- круговая частота.

Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

В качестве примера, рассмотрим следующую функцию . График исследуемой экспоненциальной функции представлен ниже.

Поскольку функция является четной функцией, то непрерывное преобразование Фурье будет определяться следующим образом:

В результате получили зависимость изменения исследуемой экспоненциальной функции на частотном интервале (см. ниже).

Непрерывное преобразование Фурье используют, как правило, в теории при рассмотрении сигналов, которые изменяются в соответствии с заданными функциями, но на практике обычно имеют дело с результатами измерений, которые представляют собой дискретные данные. Результаты измерений фиксируются через равные промежутки времени с определённой частотой дискретизации, например, 16000 Гц или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.

Существует важная теорема Котельникова (в иностранной литературе встречается название «теорема Найквиста-Шеннона», «теорема отсчетов»), которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр (0…fmax), может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра - частота дискретизации (fдискр >= 2*fmax). Другими словами, при частоте дискретизации 1000 Гц из аналогового периодического сигнала можно восстановить сигнал с частотой до 500 Гц. Следует отметить, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте приводит к периодизации функции.

Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов.

Прямое дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие временной функции , которая определена N-точками измерений на заданном временном интервале, другую функцию , которая определена на частотном интервале. Следует отметить, что функция на временном интервале задается с помощью N-отсчетов, а функция на частотном интервале задается с помощью K-кратного спектра.

k ˗ индекс частоты.

Частота k-го сигнала определяется по выражению

где T - период времени, в течение которого брались входные данные.

Прямое дискретное преобразование может быть переписано через вещественную и мнимую составляющие. Вещественная составляющая представляет собой массив, содержащий значения косинусоидальных составляющих, а мнимая составляющая представляет собой массив, содержащий значения синусоидальных составляющих.

Из последних выражений видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от одного колебания за период до N колебаний за период.

Дискретное преобразование Фурье имеет особенность, так как дискретная последовательность может быть получена суммой функций с различным составом гармонического сигнала. Другими словами, дискретная последовательность раскладывается на гармонические переменные – неоднозначно. Поэтому при разложении дискретной функции с помощью дискретного преобразования Фурье во второй половине спектра возникают высокочастотные составляющие, которых не было в оригинальном сигнале. Данный высокочастотный спектр является зеркальным отображением первой части спектра (в части частоты, фазы и амплитуды). Обычно вторая половина спектра не рассматривается, а амплитуды сигнала первой части спектра - удваиваются.

Следует отметить, что разложение непрерывной функции не приводит к появлению зеркального эффекта, так как непрерывная функция однозначно раскладывается на гармонические переменные.

Амплитуда постоянной составляющей является средним значением функции за выбранный промежуток времени и определяется следующим образом:

Амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала определяются по следующим соотношениям:

Полученные значения амплитуды и фазы называют полярным представлением (polar notation). Результирующий вектор сигнала будет определяться следующим образом:

Рассмотрим алгоритм преобразования дискретно заданной функции на заданном интервале (на заданном периоде) с количеством исходных точек

Д искретное преобразование Фурье

В результате преобразования получаем вещественное и мнимое значение функции , которая определена на частотном диапазоне.

Обратное дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие частотной функции , которая определена K-кратным спектром на частотном интервале, другую функцию , которая определена на временном интервале.

N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;

k ˗ индекс частоты.

Как уже было сказано, дискретное преобразование Фурье N-точкам дискретного сигнала ставит в соответствие N-комплексных спектральных отсчетов сигнала . Для вычисления одного спектрального отсчета требуется N операций комплексного умножения и сложения. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма дискретного преобразования Фурье является квадратичной, другими словами требуется операций комплексного умножения и сложения.