Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами.
В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.
44. Понятие функции. Способы задания функций
Выполним два задания для младших школьников.
1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.
2) Заполни таблицу.
Уменьшаемое | ||||||
Вычитаемое | ||||||
Разность |
С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?
Прежде всего, в каждом задании есть два числовых множества, между элементами которых устанавливается соответствие. В первом - это множества {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором - это множество значений вычитаемого (0,1,2, 3,4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2, 1, 0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами соответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого множества сопоставляется единственное число из второго. В математике такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие числовой функции определяют так:
Определение. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.
Множество X называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(x) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.
В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = {1, 3, 5, 7} - это ее область определения. А область значений этой функции есть множество {2,6,10,14}.
Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.
Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, формулы у = 2х-3, у = х 2 , у = 3х, где х - действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению х можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение у.
Заметим, что с помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения. Например, функция у = 2х-3, где х R, отлична от функции у = 2х-3, где х N. Действительно, при х = -5 значение первой функции равно -13, а значение второй при х = -5 не определено.
Часто при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. В таких случаях считают, что областью определения функции f(x) является область определения выражения f(x). Например, если функция задана формулой у = 2х-3, то ее областью определения считают множество R действительных чисел. Если функция задана формулой у = , то её область определения - есть множество R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).
Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть у = f(x) - функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(x) для всех х из множества X.
Так, графиком функции у = 2х-3, заданной на множестве R, является прямая (рис. 1), а графиком функции у = х 2 , заданной также на множестве R, - парабола (рис. 2).
Рис.1 Рис.2
Функции можно задавать при помощи графика. Например, графики, приведенные на рисунке 3, задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая - конечное множество {-2, -1,0, 1, 2, 3}.
Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь лишь одно значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если же это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает. Например, кривая на рисунке 4 не является графиком функции - прямая АВ, параллельная оси ординат, пересекает ее в двух точках. Функции можно задавать при помощи таблицы.
Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха р?;
Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмотрим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школьников.
Определение. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
Определение. Функция f называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x 1, x 2 из множества А выполняется условие:
х 1 <х 2 f(x 1)
График функции, возрастающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 5).
Рис. 5 Рис.6
Определение. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1, х 2 из множества А выполняется условие:
х 1 <х 2 f(x 1)>f(х 2).
График функции, убывающей на промежутке А, обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис.6).
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч .
То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час .
Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа ?».
Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа , нужно 60 умножить на 2 . Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км .
Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч .
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Обозначим за «x » время автомобиля в пути.
Обозначим за «y » расстояние, пройденное автомобилем.
Запишем зависимость «y » (расстояния) от «x » (времени в пути автомобиля).
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч . То есть подставим в формулу «y = 60 · x » значение x = 1 .
y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час . Это совпадает с нашими расчетами ранее.
Теперь рассчитаем для x = 2
.
y = 60 · 2 = 120(км)
— пройдёт автомобиль за 2 часа
.
Теперь вместо «y » запишем обозначение «y(x) ». Такая запись означает, что «y » зависит от «x ».
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Запомните!
Функцией называют зависимость «y » от «x ».
- «x » называют переменной или аргументом функции.
- «y » называют зависимой переменной или значением функции.
Запись функции в виде «y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.
Конечно, нужно понимать, что функция «y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.
Примеры других функций:
- y(x) = 2x
- y(x) = −5x + 2
- y(x) = 12x 2 −1
Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция («y ») от её аргумента («x »).
Способы задания функции
Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом.
Задание функции формулой
Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента «x » найти значение функции «y ».
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Найдем значение функции «y
» при x = 0
.
Для этого подставим в формулу вместо «x
»
число «0
».
Запишем расчет следующим образом.
y(0) = 32 · 0 + 5 = 5
Таким же образом найдем значения «y » при x = 1 и при x = 2 .
Найдем значение «y » при x = 1 .
y(1) = 32 · 1 + 5 = 37
Теперь найдем значение «y » при x = 2 .
y(2) = 32 · 2 + 5 = 64 + 5 = 69
Табличный способ задания функции
С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали , которая описывает движение автомобиля «y(x) = 60x ».
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y » для произвольно выбранных значений «x ».
Рассмотрим функцию
Найдем значения «y » при x = −1 , x = 0 и x = 1 .
Важно!
Будьте внимательны, когда подставляете значение «x
» в функцию,
у которой перед «x
» есть минус.
Нельзя терять знак минуса, который стоит перед «x ».
При подстановки отрицательного числа в функцию вместо «x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков .
Подставим в функцию «y(x) = −x + 4 » вместо «x » отрицательное число «−1 ».
Неправильно
Правильно
Теперь для функции «y(x) = −x + 4 » найдем значения «y » при x = 0 и x = 1 .
y(0) = −0 + 4 = 4
y(1) = −1 + 4 = 3
Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции «y(x) = −x + 4 ».
x | y |
---|---|
−1 | 5 |
0 | 4 |
1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат .
Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1 ».
Найдем несколько значений «y
» для произвольных «x
».
Например, для x = −1
,
x = 0
и x = 1
.
Результаты запишем в таблицу.
Каждая пара значений «x » и «y » — это координаты точек по оси «Ox » (
В C++ определены следующие арифметические операторы.
Cложение;
– вычитание;
* умножение
/ деление
% деление по модулю
– – декремент (уменьшение на 1)
Инкремент (увеличение на 1).
Действие операторов +, –, * и / совпадает с действием аналогичных операторов в алгебре. Их можно применять к данным любого встроенного числового типа.
После применения оператора деления (/) к целому числу остаток будет отброшен. Например, результат целочисленного деления 10/3 будет равен 3. Остаток от деления можно получить с помощью оператора деления по модулю (%). Например, 10%3 равно 1. Это означает, что в С++ оператор % нельзя применять к нецелочисленным типам данных.
Операторы инкремента (++) и декремента (– –) обладают очень интересными свойствами. Поэтому им следует уделить особое внимание.
Оператор инкремента выполняет сложение операнда с числом 1, а оператор декремента вычитает 1 из своего операнда. Это значит, что инструкция:
аналогична такой инструкции:
А инструкция:
аналогична такой инструкции:
Операторы инкремента и декремента могут стоять как перед своим операндом (префиксная форма), так и после него (постфиксная форма). Например, инструкцию
можно переписать в виде префиксной
Х;//префиксная форма оператора инкремента
или постфиксной формы:
х++;//постфиксная форма оператора инкремента
В предыдущем примере не имело значения, в какой форме был применен оператор инкремента: префиксной или постфиксной. Но если оператор инкремента или декремента используется как часть большего выражения, то форма его применения очень важна. Если такой оператор применен в префиксной форме, то C++ сначала выполнит эту операцию, чтобы операнд получил новое значение, которое затем будет использовано остальной частью выражения. Если же оператор применен в постфиксной форме, то С++ использует в выражении его старое значение, а затем выполнит операцию, в результате которой операнд обретет новое значение.
Математические функции
В языке С++ имеются специальные функции для расчета алгебраических выражений. Все такие функции находятся в отдельном заголовочном файле math.h. Поэтому для использования функций в коде программы необходимо подключить данный файл с помощью директивы
#include
Приведем основные алгебраические функции С++.
abs(x) - модуль целого числа;
labs(x) - модуль «длинного» целого;
fabs(x) - модуль числа с плавающей точкой;
sqrt(x) - извлечение квадратного корня;
pow(x,y) - возведение x в степень y;
cos(x) - косинус;
sin(x) - синус;
tan(x) - тангенс;
acos(x) - арккосинус;
asin(x) - арксинус;
atan(x) - арктангенс;
exp(x) - експонента в степени x;
log(x) - натуральный логарифм;
log10(x) - десятичный логарифм
При возведении числа в дробную степень, знаменатель дробной степени нужно записывать в вещественном виде. Например: квадратный корень из а записывается так: pow(a,1/2.0 )
Продемонстрируем использование функций на примерах.
5. Операторы ввода/вывода на языке С++
Для вывода сообщения на экран используется следующий оператор C++:
cout<<”текст”;
#include
Информация, заключенная в двойные кавычки, является сообщением, которое должно быть выведено на экран. В языке C++ любая последовательность символов, заключенная в двойные кавычки, называется строкой потому, что она состоит из нескольких символов, соединяемых вместе в более крупный блок (элемент).
Строка в операторе COUT может содержать так называемые подстановочные символы - символы, которых нет на клавиатуре или они заняты под ключевые символы в тексте программы. Перед каждым таким подстановочным символов ставится символ «\».
Приведем перечень таких символов:
\a – звуковой сигнал
\n – переход на новую строку
\t – горизонтальная табуляция
\v – вертикальная табуляция
\\ - обратный слеш
\’ – одинарная кавычка
\” – двойная кавычка
\? – знак вопроса.
Например, оператор вида:
cout>>“пример\nтекста”;
Слово «пример» выведет на одной строке, а слово «текста» на другой.
Оператор вида:
cout>>“магазин\»”чайка\””;
Слово «Чайка» отобразит в двойных кавычках.
Кроме текса оператор может выводить на экран значения переменных, комбинируя их с текстом.