Задача 1. Найти оригинал для изображения
при помощи разложения на простейшие дроби.
Решение.
Разложим
на сумму простейших дробей
.
Найдем неопределенные коэффициенты A , B , C , D . Так как
то, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях
,
получаем
,
,
,
.
Таким образом,
Свертка оригиналов.
Пусть
и
- функции-ориентиры и
,
.
По определению, сверткой оригиналов
называется интеграл
(3.1)
По теореме сложения изображений свертки
оригиналов
соответствует произведение изображений
Задача 2.
Найти свертку функций
и
.
Решение. Имеем
Задача 3.
Восстановить оригинал по
изображению
при помощи свертки.
Решение.
Представим
как произведение двух функций и используя
теорему умножения, запишем
.
(см. задачу 2)
4. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая часть дифференциального уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями. В результате получается так называемое операторное уравнение.
Решаем операторное уравнение относительно изображения искомой функции.
Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение
,
если
,
Решение.
Пусть
- искомое решение.
.
Запишем операторное уравнение
Находим A
,
B
,
C
.
,
,
.
Задача 2. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
,
Решение.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
;
.
Преобразованная система имеет вид
Определяем
,
по правилу Крамера
;
Вычислим
получим
Вычислим
получим
Рассмотрим решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях с использованием интеграла Дюамеля.
Интеграл Дюамеля.
Если
и
,
то
(4.1)
(4.1 ’)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффицентами
то получим
или
,
где
-
многочленn-ой степени;
(4.2)
Если рассмотреть ещё одно дифференциальное уравнение, у которого правая часть равна единице,
то при тех же нулевых начальных условиях в изображениях получим уравнение
Отсюда
(4.3)
Подставим (4.3) в (4.2), получим
(4.4)
Используя интеграл Дюамеля (4.1’) для
и учитывая, что
,
получаем
Итак, достаточно решить уравнение с правой частью равной единице, чтобы при помощи интеграла (4.5) получить решения при различных правых частях.
Задача 3.
Найти частное решение дифференциального уравнения, используя интеграл Дюамеля:
(4.7)
Пусть
,
тогда
Получим уравнение для изображения
Возвращаясь к первоначальному уравнению
для
,
Запишем
Следует отметить, что преимущество операционного метода решения дифференциальных уравнений состоит в том, что благодаря этому методу мы заменяем решение дифференциального уравнения на решение алгебраического уравнения, что сильно упрощает вычисление.
Применение методов операционного исчисления в
задачах электротехники .
Методы операционного исчисления широко используются в решениях специальных задач электротехники.
Задача1.
Включение дополнительного источника ЭДС в цепь с ненулевыми начальными условиями.
Рассмотрим электрическую цепь с ненулевыми начальными условиями (рис. 5.1), где r- сопротивление;L- индуктивность;C– ёмкость конденсатора;k– выключатель.
Эта цепь характеризуется тем, что при отключении ЭДС Е в цепи происходит арядка конденсатора. После зарядки конденсатора ток в цепи становится равным нулю. Требуется найти ток i(t) после подключения к цепи дополнительной ЭДС е(t).
По второму закону Кирхгофа (алгебраическая
сумма падения напряжения на сопротивлениях
равна алгебраической сумме действующих
в цепи ЭДС) для момента времени
имеем
,
(5.1)
где
- напряжение на конденсаторе;
(0)
– начальное напряжение на конденсаторе,
обусловленное тем, что конденсатор уже
был ранее заряжен.
Решение.
Применяя к интегро-дифяфференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, запишем
где
-
начальный ток в цепи. Используя указанные
соотношения, получаем алгебраическое
уравнение в изобржениях
где неизвестной величиной является
.
Остальные величины известныИз (5.2) получаем
(5.3)
Рассмотрим конкретный пример. Пусть
Применяя преобразование Лапласа,
получаем
следовательно,
С учётом этих условий из (5.3) получаем
Замечание.
Из полученного решения
(5.4) следует, что
,
при
,
т.е.
Это означает что за некоторое время
конденсатор дополнительно зарядится
и ток станет равным нулю.
Задача 2.
Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления rи конденсатора С, если в моментt=0 цепь подсоединяется к источнику ЭДС (рис 5.2) в виде треугольного импульса (рис 5.3).
рис 5.2 рис 5.3
В задаче задано
Решение.
Используя второй закон Кирхгофа, получим интегральное уравнение для рассматриваемого контура
( 5.5)
Решение уравнения (5.5) выразим при помощи интеграла Дюамеля (4.1)
(5.6)
где
- решение вспомогательного уравнения
(5.7)
Применяя преобразование Лапласа, имеем
Уравнение (5.7) преобразуется к алгебраическому уравнению для нахождения J(p)
откуда
(5.8)
Подставляя найденное решение (5.8) вспомогательного уравнения (5.7) в интеграл Дюамеля (5.6) получаем решение исходного уравнения (5.5)
Пример контрольной работы по операционному исчислению
и комплексным числам.
Вариант 1.
3. Найти все значения корней
5. Найти изображение оригинала, заданного графически
6. Решить систему
Вариант 2.
Найти изображение функции:
3. Найти все значения корней
6. Решить систему
Вариант 3.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
6. Решить систему
Вариант 4.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
4. Представить в алгебраической форме:
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 5.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 6.
Найти изображение функции:
Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 7.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 8.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 9.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 10.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
6. Решить систему
Вариант 11.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 12.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 13.
1. Восстановить оригинал по изображению:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного
графически:
6. Решить систему
Вариант 14.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Вариант 15.
1. Восстановить оригинал по изображению
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Найти изображение оригинала, заданного графически:
6. Решить систему
Вариант 16.
1. Найти изображение функции:
2. Решить задачу Коши операторным методом:
3. Найти все значения корней
а)
;
б)
4. Представить в алгебраической форме:
а)
;
б)
5. Восстановить оригинал по изображению
6. Решить систему
Введение.
Комплексные числа.
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Нахождение оригинала по изображению.
Решение линейных дифференциальных уравнений и систем.
Применение методов операционного исчисления в задачах электротехники.
Пример контрольной работы по операционному исчислению и комплексным числам.
Литература.
Литература.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981, 448с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. М.: издательства физико-математической литературы, 2002. 576с.
Краснов М.Л., Киселев А.Н., Макаренко Г.Н. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981. 304с.
Глатенок И.В., Заварзина И.Ф. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. М.: Московский энергетический институт, 1989. 48с.
Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление – эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.
Идея применения операционного метода заключается в следующем. Пусть требуется найти функцию из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции (ее называют оригиналом) переходят к другой функции (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования . В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию соответствует умножение на , интегрированию –деление на р и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно к более простому уравнению относительно , называемому операторным; например, от дифференциального уравнения –к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения переходят к оригиналу – искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами; нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.
Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений – их логарифмы.
1.1. Оригинал и изображение
Пусть – действительная функция действительного аргумента , определенная при любых .
Определение. Будем называть оригиналом функцию , если она удовлетворяет следующим условиям.
1. – кусочно-непрерывная функция при ; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале;
2. при ;
3.
с возрастанием может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции. Это означает, что существуют такие числа и что для всех выполняется 
, число называется показателем роста функции
. (Для ограниченных функций можно принять ).
Рассмотрим эти условия несколько подробнее. Условия 1 и 3 выполняются для большинства функций, отвечающих физическим процессам, в которых t понимается как время. Условие 2 оправдано тем, что при изучении процесса безразлично, как ведут себя рассматриваемые функции до некоторого начального момента времени, который, разумеется, можно принять за момент .
В связи с условием 2 в дальнейшем изложении, где это потребуется, будем записывать для краткости лишь то выражение
, которое она имеет для , подразумевая, что для 
. Например, запись
должна пониматься так: 
.
Аналогично, если дано выражение , где , то оно имеет место лишь для , тогда как для функция 
.
Заметим, что если функция не удовлетворяет хотя бы одному из указанных трех условий, то она не является оригиналом. Так, для функции нарушено условие 1 (в точке она терпит разрыв второго рода), для функции не выполняется условие 3 (она растет быстрее показательной функции); поэтому эти функции не могут быть оригиналами.
Заметим также, что необязательно считать оригинал
действительной функцией. Функция
может быть и комплексно-значной, т.е. иметь вид 
. При этом действительная и мнимая части и должны быть оригиналами, т.е. удовлетворять условиям 1, 2, 3.
Определение. Изображением функции – оригинала –называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом
. (1.1)
Несобственный интеграл в правой части равенства (1.1), называемый интегралом Лапласа, зависит от параметра .
Таким образом, функции действительного переменного поставлена в соответствие функция комплексного переменного .
Соотношение (1.1) осуществляет преобразование одной функции в другую. Операцию перехода от оригинала к изображению в соответствии с формулой (1.1) называют преобразованием Лапласа , или прямым преобразованием Лапласа.
Тот факт, что есть изображение (говорят также, изображение по Лапласу), символически записывают так:
.
Отыскание оригинала
по изображению называют обращением преобразования Лапласа
, или обратным преобразованием Лапласа; его обозначают символом 
.
Условились обозначать оригиналы малыми буквами 
а их изображения – соответствующими заглавными буквами 
или теми же буквами, что и оригиналы, но снабжать их черточками сверху: 
.
1.2. Примеры вычисления изображений
Приведем примеры вычисления изображения по Лапласу, исходя из его определения.
1.2.1. Функция Хевисайда и ее изображение.
Найдем изображение функции Хевисайда по формуле (1.1), полагая в ней :
Последнее заключение можно сделать только, в том случае, когда 
. Покажем, что это выполняется. По формуле Эйлера имеем:
Тогда
и т.п.
. Следовательно, оригинал. По формуле (1.1) найдем
Это имеет место, если только 
. Последнее же выполняется, как было показано в предыдущем примере, когда 
, иначе . Таким образом,
. (1.3)
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p)
1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg
Отыскание оригинала по изображению
2) интеграл
а-«сю
сходится абсолютно,
то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример 2. Найти оригинал для функции
М Запишем F(p) в виде Отсюда /
3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.
В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }