Циклические коды. Основные понятия и определения. Построить порождающую матрицу циклического кода с g(х) = 1+х+х*3
Циклические коды
Циклические коды - это целое семейство помехоустойчивых кодов, включающее в себя в качестве одной из разновидностей кодов Хэмминга, но в целом обеспечивающее большую гибкость с точки зрения возможности реализации кодов с необходимой способностью обнаружения и исправления ошибок, определяемой параметром d0, по сравнению с кодами Хэмминга (для которых d0=3 или d0=4). Одним из классов циклических кодов, способность исправлять многократные ошибки, являются коды БЧХ. Широкое использование циклических кодов на практике обусловлено также простотой реализации соответствующих кодеров и декодеров. Основные свойства и само название циклических кодов связаны с тем, что все разрешенные комбинации бит в передаваемом сообщении (кодовые слова) могут быть получены путем операции циклического сдвига некоторого исходного кодового слова:
Циклические коды задаются с помощью так называемых порождающих полиномов (многочленов) g(x) степени r = n-k, являющийся сомножителем двучлена x n +1, и их корней. Кроме того, вводятся понятия полинома исходного сообщения. Для этих полиномов, представляющих собой, по существу, альтернативную запись чисел в двоичной системе счисления, определяются операции сложения, умножения и деления, необходимые для организации кодирования и декодирования сообщения. Все эти операции выполняются по модулю 2.
Кодовые слова представляются в виде многочленов:
Основные параметры циклических кодов
Длина кода - n; Длина информационной последовательности - k; Длина проверочной последовательности - r=n-k; Кодовое расстояние кода - d 0 ; Скорость кода - R=k/n; Избыточность кода - R?; Вероятность обнаружения ошибки (искажения) - Р ОО; Вероятность не обнаружения ошибки (искажения) - Р НО.- коэффициенты из поля GF(q).
Основные понятия и определения
Кодовое расстояние между двумя кодовыми словами (расстояние Хэмминга) - это число позиций, в которых они отличаются друг от друга. Кодовое расстояние кода - это наименьшее расстояние Хэмминга между различными парами кодовых слов. Основные зависимости между кратностью обнаруживаемых ошибок t 0 , исправляемых ошибок t u , исправлением стираний t c и кодовым расстоянием d 0 кода:
Стиранием называется "потеря" значения передаваемого символа в некоторой позиции кодового слова, которая известна. Код, в котором каждое кодовое слово начинается с информационных символов и заканчивается проверочными символами, называется систематическим. Если код построен над полем GF(2), то коэффициенты принимают значения 0 или 1 и код называется двоичным. Длина циклического кода называется примитивной и сам код называется примитивным, если его длина n=q m -1 над GF(q). Если длина кода меньше длины примитивного кода, то код называется укороченным или непримитивным. Общее свойство кодовых слов циклического кода - это их делимость без остатка на некоторый многочлен g(x), называемый порождающим. Результатом деления двучлена x n +1 на многочлен g(x) является проверочный многочлен h(x). При декодировании циклических кодов используются многочлен ошибок e(x) и синдромный многочлен S(x). Многочлен ошибок степени не более (n-1) определяется из выражения
где - многочлены, отображающие соответственно принятое (с ошибкой) и переданное кодовые слова. Ненулевые коэффициенты в е(x) занимают позиции, которые соответствуют ошибкам. Синдромный многочлен, используемый при декодировании циклического кода, определяется как остаток от деления принятого кодового слова на порождающий многочлен, т.е.
Следовательно, синдромный многочлен зависит непосредственно от многочлена ошибок е(х). Это положение используется при построении таблицы синдромов, применяемой в процессе декодирования. Эта таблица содержит список многочленов ошибок и список соответствующих синдромов, определяемых из выражения (см. таблицу 4).
В процессе декодирования по принятому кодовому слову вычисляется синдром, затем в таблице находится соответствующий многочлен е(х), суммирование которого с принятым кодовым словом дает исправленное кодовое слово, т.е.
Перечисленные многочлены можно складывать, умножать и делить, используя известные правила алгебры, но с приведением результата по модулю 2, а затем по модулю x n +1, если степень результата превышает степень (n-1). Примеры.
Допустим, что длина кода n=7, то результат приводим по модулю x 7 +1.
При построении и декодировании циклических кодов в результате деления многочленов обычно необходимо иметь не частное, а остаток от деления. Поэтому рекомендуется более простой способ деления, используя не многочлены, а только его коэффициенты (вариант 2 в примере).
Циклический код может быть задан порождающей g(x) и проверочной h(x) матрицами. Для построения достаточно знать порождающий и проверочный многочлены. Для не систематического циклического кода матрицы строятся циклическим сдвигом порождающего и проверочного многочленов, т. е. путем их умножения на х.
Одна из основных задач, стоящих перед разработчиками устройств защиты от ошибок при передачи дискретных сообщений по каналам связи является выбор порождающего многочлена для построения циклического кода, обеспечивающего требуемое минимальное кодовое расстояние для гарантийного обнаружения и исправления t-кратных ошибок.
Существуют специальные таблицы по выбору порождающего многочлена в зависимости от предъявляемых требований к корректирующим возможностям кода. Однако у каждого циклического кода имеются свои особенности формирования порождающего многочлена. Поэтому при изучении конкретных циклических кодов будут рассматриваться соответствующие способы построения порождающего многочлена.
Так как, согласно определению, линейный (л, /с)-код длины п над GF(q) является подпространством GF k (q) векторного пространства GF n (q), то должно существовать ортогональное дополнение подпространства GF k (q) линейного кода (см. подпараграф 1.7.1).
Пусть Н - матрица, строки которой соответствуют базисным векторам ортогонального дополнения g-ичного линейного кода С длины п. Тогда для любого вектора с, принадлежащего коду, справедливо:
Условие (2.10) позволяет проверить принадлежность произвольной л-после- довательности элементов GF(q) определенному g-ичному линейному коду.
Если вектор линейного кода имеет вес Хэмминга шо, то это значит, что в кодовом слове присутствует шо ненулевых символов (согласно определению веса Хэмминга, см. подпараграф 2.1.4). Тогда, согласно правилам умножения матриц, произведение вектора с со значением шо веса Хэмминга на матрицу Н т соответствует линейной комбинации шо столбцов матрицы Н. При этом равенство (2.10), очевидно, имеет место тогда и только тогда, когда шо столбцов матрицы Н линейно зависимы.
Таким образом, условием существования во множестве кодовых слов некоторого линейного кода кодового слова с весом Хэмминга шо является наличие в матрице Н линейно зависимых столбцов в количестве шо. Из этого следует также, что линейный код имеет минимальный вес (см. подпараграф 2.1.4) не менее некоторого значения шо тогда и только тогда, когда любые шо - 1 столбцов матрицы Н линейно независимы. Следовательно, согласно неравенству (2.6), для того чтобы найти линейный код с минимальным весом шо, исправляющий t ошибок, достаточно найти матрицу Н, у которой не менее чем шо - 1 = 2-t любых столбцов были линейно независимы.
Рассмотрим подробнее матрицу Н. Как было сказано выше, строками матрицы Н являются базисные векторы ортогонального дополнения линейного кода. Если множество л-последовательностей образует подпространство размерности к, то ортогональное дополнение этого подпространства будет иметь размерность п-к (см. подпараграфы 1.7.1 и 1.7.2). Подпространство размерности п - к образуют любые п-к базисных векторов. Поэтому матрица Н должна содержать п-к линейно независимых строк.
Так как матрицы G и Н принадлежат одному пространству л-последовательностей, то число столбцов матрицы Н равно числу столбцов матрицы G. Таким образом, матрица Н имеет размер (л - к) х л. Все столбцы матрицы Н, как уже было сказано, образуют линейно независимые группы по 2t столбцов.
Согласно соотношению (2.2), любое кодовое слово линейного кода является линейной комбинацией строк порождающей матрицы G кода. При этом, очевидно, каждая строка матрицы G соответствует некоторому кодовому слову. Поэтому соотношение (2.10) можно переписать следующим образом:
Результатом произведения матриц G размера к* ли Н т размера л х (п-к) является матрица размера к х (л - к), состоящая из нулевых элементов.
Матрица Н размера (п-к)х л, строками которой являются базисные векторы ортогонального дополнения подпространства линейного кода, называется проверочной матрицей линейного кода.
Согласно соотношению (2.4), порождающая матрица систематического линейного кода состоит из единичной матрицы порядка к и матрицы проверочных символов размера к х (л - к), которая, в свою очередь, является расширением единичной матрицы. Как показано в приложении 1, умножение двух матриц можно выполнить, разделив перемножаемые матрицы на матрицы меньшего размера (блоки) с последующим умножением отдельных блоков перемножаемых матриц. Тогда для матриц G и Н можно записать:
Число столбцов в блоках А и В матрицы Н 7 должно соответствовать числу строк в блоках Ек и Р матрицы G (по правилам умножения матриц). Результирующая матрица должна иметь размер /с * (л - к). Очевидно, что если положить А = -Р и В = Ел_/с, то матрица Н будет удовлетворять уравнению (2.11).
Таким образом, матрица Н т является расширением матрицы -Р и помимо матрицы - Р матрица Н содержит единичную матрицу порядка п - к. Матрица Н т является результатом транспонирования матрицы Н.
Результатом повторного транспонирования матрицы является исходная матрица. Поэтому матрица Н может быть получена путем транспонирования матрицы Н т. Так как для любого элемента а поля GF[ 2) справедливо а = - а, то для двоичного линейного кода справедливо Р--Р.
Матрица Н двоичного линейного кода будет иметь следующий вид:
Матрица Р, входящая в состав матрицы G и содержащая проверочные символы, может быть получена путем транспонирования матрицы Р т, входящей в состав матрицы Н.
Таким образом, построение линейного кода сводится к поиску матрицы Н. По заданной матрице Н легко найти матрицу G.
Пример 2.1.4. Рассмотрим построение двоичного линейного кода - кода над GF(2), исправляющего одну ошибку кодового слова с информационной последовательностью размера к = 3 бита.
Согласно соотношению (2.9), для кода с максимальным расстоянием r = 2-t = = 2. Тогда л = /с + г = 3 + 2 = 5. Однако, как будет показано в следующем подпараграфе, линейный двоичный (5,3)-код не способен исправлять одиночную ошибку кодового слова. При этом минимальное число избыточных символов для данного случая г = 3, а рассматриваемый код - двоичный линейный (6,3)-код.
Таким образом, в данном случае матрица Н содержит проверочную матрицу размера /сх(л-/с) = 3*3и единичную матрицу порядка п-к= 3.
Все столбцы матрицы Н должны образовывать линейно независимые группы по два столбца и линейно зависимую группу из трех столбцов. Такому условию отвечают, например, последовательности 101, 110 и 011 над GF(2). Указанные последовательности образуют столбцы матрицы Р т, входящей в состав матрицы Н. Остальные элементы матрицы Н соответствуют единичной матрице порядка 3:
Дописав к единичной матрице порядка 3 матрицу Р, полученную транспонированием матрицы Р т, получим матрицу G:
Рассмотрим теперь процесс формирования и структуру кодового слова двоичного линейного (6, 3)-кода с порождающей матрицей вида (2.12):
Три первых символа кодового слова (ci - Сз) содержат информационные символы (/ 1 - г"з), сформированные в результате умножения матрицы информационной последовательности i на единичную матрицу порядка 3, входящую в состав матрицы G. Оставшиеся символы кодового слова (С4 - Сб) содержат проверочные символы (t^ - tz), полученные в результате умножения матрицы информационной последовательности на матрицу проверочных символов Р, также входящую в состав матрицы G.
Нетрудно проверить, что в случае (6, 3)-кода из примера 2.1.4 минимальное число ненулевых символов среди всех кодовых слов равно трем (кодовые слова 001101, 010011,100110 и 111000). Таким образом, d* = 3 и, согласно соотношению (2.5), код должен исправлять одну ошибку кодового слова. Как будет показано в следующем подпараграфе, это действительно так.
Линейные коды обладают следующим свойством:
Из всего множества 2 k разрешенных кодовых слов, образующих линейную группу, можно выделить подмножества из k слов, обладающих свойством линейной независимости.
Линейная независимость означает, что никакое из слов, входящих в подмножество линейно-независимых кодовых слов, нельзя получить путем суммирования (с помощью линейного выражения) любых других слов, входящих в это подмножество.
В то же время любое из разрешенных кодовых слов можно получить путем суммирования определенных линейно-независимых слов.
Таким образом, построение кодовых комбинаций линейного кода связано с линейными операциями. Для выполнения таких операций удобно пользоваться хорошо разработанным аппаратом матричных вычислений.
Для образования n -разрядных кодовых слов из k- разрядных кодируемых слов (кодирования) используют матрицу, которая называется образующей(порождающей).
Образующая матрица получается путем записи в столбец k линейно-независимых слов.
Обозначим кодируемую информационную последовательность X и будем записывать ее в виде матрицы-строки ||X|| размерностью 1* k , например:
||X||=||11001||, где k=5 .
Один из способов построения образующей (порождающей) матрицы следующий: Она строится из единичной матрицы ||I|| размерностью k*k и приписанной к ней справа матрицы добавочных (избыточных) разрядов ||МДР|| размерности k*r .
где при k =4
Такая структура ОМ обеспечивает получение систематического кода.
Порядок построения матрицы МДР будет рассмотрен ниже.
7.4 Порядок кодирования
Кодовое слово КС получается путем умножения матрицы информационной последовательности ||Х|| на образующую матрицу ||ОМ||:
Умножение выполняется по правилам матричного умножения: (ТАК наТАК)
Надо только помнить, что сложение здесь ведется по модулю 2.
допустим, образующая матрица
||ОМ||= 0010 011
и вектор-строка информационной последовательности
Так как множимая матрица имеет всего одну строку, умножение упрощается. В этом случае следует поставить в соответствие строкам образующей(порождающей) матрицы ||ОМ|| разряды матрицы информационной последовательности ||X|| и сложить те строки образующей(порождающей) матрицы, которые соответствуют единичным разрядам матрицы ||Х||.
Заметим, что ||KC|| = ||X, ДР||,
где ||X||- информационная последовательность (т.к. умножается на единичную матрицу ||I|| ),
а ||ДР|| - добавочные разряды, зависящие от матрицы добавочных разрядов ||МДР|| :
|| ДР ||= || Х || * || МДР||
7.5 Порядок декодирования
В результате передачи кодового слова через канал оно может быть искажено помехой. Это приведет к тому, что принятое кодовое слово ||ПКС|| может не совпасть с исходным ||КС||.
Искажение можно описать с помощью следующей формулы:
|| ПКС || = ||КС || + ||ВО ||,
где ||ВО|| - вектор ошибки - матрица-строка размерностью 1* n , с 1 в тех позициях, в которых произошли искажения.
Декодирование основано на нахождении так называемого опознавателя или синдрома ошибки -матрицы-строки ||ОП|| длиной r разрядов (r - количество добавочных или избыточных разрядов в кодовом слове).
Опознаватель используется для нахождения предполагаемого вектора ошибки.
Опознаватель находят по следующей формуле:
||ОП|| = ||ПКС||* ||ТПМ||,
где ||ПКС||- принятое и, возможно, искаженное кодовое слово;
||ТПМ||,- транспонированная проверочная матрица, которая получается из матрицы добавочных разрядов ||МДР|| путем приписывания к ней снизу единичной матрицы:
Пример ||ТПМ||:
Поскольку ||ПКС|| = ||КС|| + ||BO||, последнюю формулу можно записать в виде:
||ОП|| = ||КС|| * ||ТПМ||+||ВО|| * ||ТПМ||.
Рассмотрим первое слагаемое.
||КC|| - матрица-строка, причем первые k разрядов - информационные.
Докажем теперь, что произведение кодового слова ||КС|| на ||ТПМ|| приводит к получению нулевой матрицы ||0||.
Поскольку ||КС|| - матрица-строка, возможен упрощенный порядок умножения матриц, рассмотренных выше.
Следовательно, первое слагаемое в
||ОП|| = ||КС|| * ||ТПМ|| + ||ВО|| * ||ТПМ||
всегда равно нулю и опознаватель полностью зависит от вектора ошибки ||ВО||.
Если теперь подобрать такую проверочную матрицу ТПМ , а значит и МДР , чтобы разным векторам ошибки соответствовали разные опознаватели ОП, то по этим опознавателям можно будет находить вектор ошибки ВО, а значит и исправлять эти ошибки.
Соответствие опознавателей векторам ошибки находится заранее путем перемножения векторов исправляемых ошибок на ТПМ;
Таким ооразом, способность кода исправлять ошибки целиком определяется ||МДР||. Для построения МДР для кодов, исправляющих однократные ошибки нужно в каждой строке МДР иметь не менее 2-х единиц. При этом также необходимо иметь хотя бы одно различие между двумя любыми строчками МДР .
Полученный нами код неудобен тем, что опознаватель, хотя и связан однозначно с номером искаженного разряда, как число не равен ему. Для поиска искаженного разряда нужно использовать дополнительную таблицу соответствия между опознавателем и этим номером. Коды, в которых опознаватель как число определяет позицию искаженного разряда, были найдены и получили название кодов Хэмминга .
Построение МДР для случая исправления многократных ошибок значительно усложняется. Разными авторами были найдены различные алгоритмы построения ||МДР || для этого случая, а соответствующие коды называются именами их авторов.
Любой циклический (n, k ) – код может быть задан в соответствии с определением 2, порождающим многочленом g(x) или проверочным многочленом .
Знание этих многочленов позволяет построить порождающую матрицу и матрицу проверок. Для циклического (n, k ) – кода существует простой способ нахождения k линейно независимых кодовых комбинаций, образующих порождающую матрицу . Этот способ состоит в следующем. Записывается порождающий многочлен g(x) . В соответствии с определением 2 комбинация, соответствующая порождающему многочлену, принадлежит циклическому (n, k ) – коду. В соответствии с определением 1 циклические сдвиги комбинации, соответствующей g(x) , также должны принадлежать этому же коду. Алгебраически сдвиг соответствует умножению кодовой комбинации на х . Так как степень g(x) равна n-k , то подобным образом мы можем получить кодовые комбинации
Легко проверить, что эти кодовые комбинации линейно независимы, хотя бы потому, что степени всех этих многочленов различны, поэтому данный набор многочленов может быть использован в качестве :
.
Путем элементарных преобразований эта матрица может быть приведена к канонической форме.
Аналогичным образом по проверочному многочлену можно построить матрицу проверок
.
Пример 6.4. Для циклического (7,4) – кода с порождающим многочленом 
(см. пример 6.3.) построить порождающую матрицу.
Следовательно, порождающая матрица для данного кода имеет вид:
Полученные результаты и рассуждения относительно алгебраической структуры циклических кодов, приведенные в разделе 6.2, позволяют подметить одно важное свойство циклических кодов, определенное их циклической структурой.
Свойство 6.1. Произведение кодовой комбинации циклического кода на произвольный многочлен дает кодовую комбинацию этого же циклического кода.
Действительно , а любое произведение такого вида равно нулю, т.е. принадлежит кодовому подпространству (раздел 6.2).
Более элементарное доказательство:
Полученная сумма есть сумма циклических сдвигов кодовых комбинаций, что по свойству замкнутости группового кода должно дать комбинацию того же циклического кода.
При описании циклических кодов следует учитывать специфику действий над многочленами, по сравнению с векторами и, в частности, тот факт, что умножение многочленов не совпадает со скалярным умножением векторов, отображающих эти многочлены. Однако в классе вычетов многочленов по модулю между этими понятиями существует весьма тесная связь. Пусть имеется вектор и соответствующий ему многочлен , а также вектор и соответствующий ему многочлен . Будем считать многочлены и ортогональными, если выполнено условие .
Коэффициент при х
в произведении 
равен
Слагаемые, содержащие , появляются вследствие слагаемых в произведении , которые содержат . Но так как , т.е. , то . Равенство для можно представить в виде скалярного произведения:
В этом произведении первый вектор соответствует а(х) . Второй вектор содержит коэффициенты b(х) , расположенные в обратном порядке и сдвинутые циклически на j +1 элемент вправо.
Таким образом, если произведение равно нулю, то вектор, соответствующий многочлену а(х) , ортогонален вектору, соответствующему многочлену b(х) , компоненты которого расположены в обратном порядке, и кроме того каждому циклическому сдвигу этого вектора. Верно также и обратное утверждение. Если вектор ортогонален вектору и каждому циклическому сдвигу этого вектора, то
Учитывая эту специфику необходимо при матричном описании кода коэффициенты матрицы проверок записывать в обратном порядке. В этом случае будет выполнено условие
Пример 6.5. Построить матрицу проверок для циклического (7,4) – кода из предыдущего примера.m , являющихся сомножителями двучленов и не являющихся сомножителями никаких двучленов меньшей степени. Корни этих многочленов имеют порядок 2 m -1, т.е они являются примитивными элементами поля GF(2 m). Это означает, что порождающий многочлен кода Хэмминга порождает поле GF(2 m).
Условимся в любом циклическом коде первые n-k
элементов кодовой комбинации, то есть коэффициенты при 
использовать в качестве проверочных элементов, а последние k
элементов, то есть коэффициенты при 
, - в качестве информационных (рис. 6.0).
a 0 a, ….., a n-1 = a 0 x 0 +a 1 x 1 + …. + a n-1 x n+1
x 0 x 1 x 2 x n-k-1 x n-k x n-2 x n-1
В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:
- обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи поврежденных блоков - этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
- обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание поврежденных блоков - такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
- исправление ошибок (англ. forward error correction ) применяется на физическом уровне.
Коды обнаружения и исправления ошибок
Корректирующие коды - коды, служащие для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче информации под влиянием помех , а также при её хранении.
Для этого при записи (передаче) в полезные данные добавляют специальным образом структурированную избыточную информацию, а при чтении (приеме) её используют для того, чтобы обнаружить или исправить ошибки. Естественно, что число ошибок, которое можно исправить, ограничено и зависит от конкретного применяемого кода.
С кодами, исправляющими ошибки , тесно связаны коды обнаружения ошибок . В отличие от первых, последние могут только установить факт наличия ошибки в переданных данных, но не исправить её.
В действительности, используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически, любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).
По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки делятся на блоковые , делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и сверточные , работающие с данными как с непрерывным потоком.
Блоковые коды
Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной k бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной n бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают (n ,k ) . При этом число называется скоростью кода .
Если исходные k бит код оставляет неизменными, и добавляет n − k проверочных , такой код называется систематическим , иначе несистематическим .
Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из k информационных бит сопоставляется n бит кодового слова. Однако, хороший код должен удовлетворять, как минимум, следующим критериям:
- способность исправлять как можно большее число ошибок,
- как можно меньшая избыточность,
- простота кодирования и декодирования.
Нетрудно видеть, что приведенные требования противоречат друг другу. Именно поэтому существует большое количество кодов, каждый из которых пригоден для своего круга задач.
Практически все используемые коды являются линейными . Это связано с тем, что нелинейные коды значительно сложнее исследовать, и для них трудно обеспечить приемлемую легкость кодирования и декодирования.
Линейные пространства
Порождающая матрица
Это соотношение устанавливает связь между векторами коэффициентов 
и векторами . Перечисляя все векторы коэффициентов можно получить все векторы . Иными словами, матрица G
порождает линейное пространство .
Проверочная матрица
Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного k -битного вектора на невырожденную матрицу G , называемую порождающей матрицей .
Пусть - ортогональное подпространство по отношению к C , а H - матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора справедливо:
.
Свойства и важные теоремы
Минимальное расстояние и корректирующая способность
Граница Хемминга и совершенные коды
Пусть имеется двоичный блоковый (n ,k ) код с корректирующей способностью t . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга ):
.
Коды, удовлетворяющие этой границе с равенством, называются совершенными . К совершенным кодам относятся, например, коды Хемминга. Часто применяемые на практике коды с большой корректирующей способностью (такие, как коды Рида-Соломона) не являются совершенными.
Энергетический выигрыш
При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определенных системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.
Поскольку помехоустойчивое кодирование позволяет исправлять ошибки, при его применении мощность передатчика можно снизить, оставляя скорость передачи информации неизменной. Энергетический выигрыш определяется как разница отношений с/ш при наличии и отсутствии кодирования.