По правилу Ленца, дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменению тока в цепи.

Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь, индуктивностью L и сопротивлением R включить источник тока и переключить и переключатель находится в положении 2. Тогда в цепи будет течь ток .

В момент времени t=0 отключают источник тока(переключают в положение 1). Как только сила тока начнет убывать, возникающая ε i , противодействующая этому убыванию .По второму правилу Кирхгофа: . – мы получили однородное ДУ-1. Разделяя переменные получим: , , c – const можно найти из начальных условий. При t=0 → . , → .

Частное решение: , ,

Рассмотрим случай замыкания цепи из 1 в 2. После подключения источника тока до тех пор, пока сила тока не достигнет установленного значения: в цепи кроме ε возникает также , , . Мы получили неоднородное ДУ-1. Решением неоднородного уравнения является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения соответствующего неоднородного уравнения: . Легко видеть, что частным решением является , константу находим из начальных условий при t=0, I=0. , , .

31.Энергия магнитного поля. Плотность энергии.

Проводник по которому протекает электрический ток всегда определяет магнитное поле

Причём магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением электрического тока. Следовательно часть энергии тока идёт на создание магнитного поля, который подобно электричеству является носителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе,который затрачивается током не создающим магнитного поля

Рассмотрим контур с током индуктивность которого L,с данным контуром сцепляется магнитный поток

Причём при изменении тока на dI приводит к изменению магнитного потока

Для изменения магнитного потока на величину dФ необходимо совершить работу

Тогда работа будет равна

;

Выразим энергию магнитного поля через характеристику магнитного поля

; ; ; ;

Энергия сосредоточенная в единице объёма (объёмная плотность энергии магнитного поля)

;

Гармонические колебания и их характеристики. Дифференц. уравнение гармонических колебаний

При разнообразных видах движения наблюдающихся в природе наблюдаются такие, которые повторяются через определенный промежуток времени они называются периодическими, а промежуток времени через который повторяются называются периодом.

Колебательное движение относится к периодическим. Физическая природа колебаний может быть различна, по этому различают колебания механические, электромагнитные и т.д. Однако, различные колебательные процессы описывают одинаковые характеристики и одинаковые уравнения. Отсюда след. целесообразие единого подхода к изучению колебаний различных физических природы.

Колебания бывают: свободные (колебания, которые происходят в отсутствии переменных внешних воздействий и возникающих вследствие начала уравнений этой системы в равновесии), вынужденные (колебания возникшие в какой-либо системе под влиянием переменных внешних воздействий), алкоколебание (Колебания возникают в источнике за счет источника введенного в эту систему)

При всяком изменении силы тока в про­водящем контуре возникает э.д.с. само­индукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называ­емые экстратоками самоиндукции. Экстра­токи самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы пре­пятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, со­здаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезнове­ния или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под дей­ствием внешней э.д.с. в цепи течет по­стоянный ток

I 0 =ξ/R

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индук­тивности L начнет уменьшаться, что при­ведет к возникновению э.д.с. самоиндук­ции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, со­гласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или

IR=-LdI/dt. (127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя

это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или

где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и опре­деляется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопро­тивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции

ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно

правилу Ленца, возрастанию тока. По за­кону Ома, IR=ξ+ξ s , или

IR =ξ-LdI/dt .

Введя новую переменную u=IR-ξ, пре­образуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,

где 1 - время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегри­руя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).

находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или

где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и опре­деляется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к устано­вившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же вре­менем релаксации t=L/R, что и убыва­ние тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндук­ции ξ s , возникающей при мгновенном уве­личении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет уста­новившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыка­нии цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопро­тивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоин­дукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учиты­вать, что контур, содержащий индуктив­ность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. само­индукции) может привести к пробою изо­ляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндук­ции не достигнет больших значений.

Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, все гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. x, резистор сопротивлением Rи катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = x S /R, или

(127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим . Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I) и t(от 0 до f), находим In (I/I 0) = -Rt/L, или

(127.2)

где t = L/R- постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. x возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = x + x S или

Введя новую переменную u = IR - x , преобразуем это уравнение к виду

где t - время релаксации.

В момент замыкания (t = 0)сила тока I = 0 и u = -ℰ . Следовательно, интегрируя по u(от - ℰ до IR - ℰ) и t(от 0 до t), находим In [(IR - ℰ)]/ -ℰ = -t/t, или

(127.3)

где I 0 = ℰ/R - установившийся ток (при t ® ¥).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 = ℰ / R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ℰ S , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 = ℰ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выражение для I 0 и т, получим

Токи при размыкании и замыкании цепи

Экстратоки размыкания

Токи при размыкании и замыкании цепи

Экстратоками самоиндукции

При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток

(пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока).

В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или

Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или

Где τ = L/R - постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.

Рис.1

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξs или

Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как

где τ - время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или

Где I0=ξ/R - установившийся ток (при t→∞).

Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем

Э.д.с. самоиндукции

Т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.

При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток I 0 = ξ/R. В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или IR=-LdI/dt(1) Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или I=I 0 e - t /τ (2) где τ = L/R - постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξ s = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξ s или IR=ξ - LdI/dt

Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как du/u=-dt/τ где τ - время релаксации. В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или I=I 0 (1-e - t /τ)(3) где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t→∞)

Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление. Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем I=ξe - Rt / L /R 0. Э.д.с. самоиндукции ξ=-L(dI/dt)=Re - Rt / L /R 0 т.е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.

Энергия и плотность энергии магнитного поля.

Проводник, c протекающим по нему электрическим ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле исчезает и появляется вместе с исчезновением и появлением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Логично предположить, что энергия магнитного поля совпадает с работой, затрачиваемой током на создание этого поля. Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому протекает ток I. С этим контуром сцеплен магнитный поток Ф=LI, поскольку индуктивность контура неизменна, то при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ=LdI. Но для изменения магнитного потока на величину dФ следует совершить работу dА=IdФ=LIdI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф равна A=∫ 0 I LIdI=LI 2 /2. Значит, энергия магнитного поля, которое связано с контуром, W= LI 2 /2.(1) Энергию магнитного поля можно рассматривать как функцию величин, которые характеризуют это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (1) формулу индуктивности соленоида, найдем W=μ 0 μN 2 I 2 S/2l. Так как I=Bl/(μ 0 μN) и В=μ 0 μH , то W=B 2 V/2μ 0 μ=BHV/2(2), где Sl = V - объем соленоида

Магнитное поле внутри соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (2) заключена в объеме соленоида и имеет с ним однородное распределение с постоянной объемной плотностью ω=W/V=B 2 /2μ 0 μ= μ 0 μH 2 /2=BH/2(3). Формула (3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для объемной плотности энергии электростатического поля, с тем отличием, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (3) выводилась для однородного поля, но она верна и для неоднородных полей. Формула (3) справедлива только для сред, для которых линейная зависимость В от Н, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.

Общая характеристика теории Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле, первое уравнение Максвелла. Ток смещения, второе уравнение Максвелла. Полная система уравнений Максвелла. Относительность электрических и магнитных полей.