Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.
В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.
Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.
Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами
Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .
Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.
Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.
Линейно-параметрические цепи-радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону, называют параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами). Предполагается, что изменение какого-либо параметра осуществляют электронным методом с помощью управляющего сигнала. В линейно- параметрической цепи параметры элементов не зависят от уровня сигнала, но могут независимо изменяться во времени. Реально параметрический элемент получают из нелинейного элемента, на вход которого подают сумму двух независимых сигналов. Один из них несет информацию и имеет малую амплитуду, так что в области его изменений параметры цепи практически постоянны. Вторым является управляющий сигнал большой амплитуды, который изменяет положение рабочей точки нелинейного элемента, а следовательно, его параметр.
В радиотехнике широко применяют параметрические сопротивления R(t), параметрические индуктивности L(t) и параметрические емкости C(t).
Для параметрического сопротивления R(t) управляемым параметром является дифференциальная крутизна
Примером параметрического сопротивления может служить канал МДП- транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u Г (t). В этом случае крутизна его сток-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением зависимостью S(t) = S. Если к МДП-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t) , то его ток определится выражением
Наиболее широко параметрические сопротивления применяют для преобразования частоты сигналов. Гетеродинирование - процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов разных частот для получения колебаний третьей частоты, в результате которого происходит смещение спектра исходного сигнала.
Рис. 24. Структурная схема преобразователя частоты
Преобразователь частоты (рис.24) состоит из смесителя (СМ) - параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа и т. д.), гетеродина (Г) - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой ωг, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (ФПЧ) - полосового фильтра
Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Допустим, что под воздействием гетеродинного напряжения
крутизна характеристики МДП-транзистора изменяется приближенно по закону
где S 0 и S 1 - соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики. При поступлении на преобразующий МДП-транзистор смесителя приемника АМ-сигнала
переменная составляющая выходного тока будет определяться выражением:
Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана частота
Классический метод анализа процессов в линейных цепях часто оказывается связанным с необходимостью проведения громоздких преобразований.
Альтернативой классическому методу является операторный (операционный) метод. Его сущность состоит в переходе посредством интегрального преобразования над входным сигналом от дифференциального уравнения к вспомогательному алгебраическому (операционному) уравнению. Затем находится решение этого уравнения, из которого с помощью обратного преобразования получают решение исходного дифференциального уравнения.
В качестве интегрального преобразования наиболее часто используют преобразование Лапласа, которое для функции s (t ) дается формулой:
где p - комплексная переменная: . Функция s(t ) называется оригиналом, а функция S (p ) - ее изображением.
Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа
Выполнив преобразование Лапласа обеих частей уравнения (*), получим:
Отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов носит название передаточной характеристики (операторного коэффициента передачи) линейной системы:
Если передаточная характеристика системы известна, то для нахождения выходного сигнала по заданному входному сигналу необходимо:
· - найти изображение Лапласа входного сигнала;
· - найти изображение Лапласа выходного сигнала по формуле
· - по изображению S вых (p ) найти оригинал (выходной сигнал цепи).
В качестве интегрального преобразования для решения дифференциального уравнения может использоваться также преобразование Фурье, являющееся частным случаем преобразования Лапласа, когда переменная p содержит только мнимую часть. Отметим, что для того чтобы к функции можно было применить преобразование Фурье, она должна быть абсолютно интегрируемой. Это ограничение снимается в случае преобразования Лапласа.
Как известно, прямое преобразование Фурье сигнала s (t ), заданного во временной области, является спектральной плотностью этого сигнала:
Выполнив преобразование Фурье обеих частей уравнения (*), получим:
Отношение изображений Фурье выходного и входного сигналов, т.е. отношение спектральных плотностей выходного и входного сигналов, называется комплексным коэффициентом передачи линейной цепи:
Если комплексный коэффициент передачи линейной системы известен, то нахождение выходного сигнала для заданного входного сигнала производят в следующей последовательности:
· определяют с помощью прямого преобразования Фурье спектральную плотность входного сигнала;
· определяют спектральную плотность выходного сигнала:
· с помощью обратного преобразования Фурье находят выходной сигнал, как функцию времени
Если для входного сигнала существует преобразование Фурье, то комплексный коэффициент передачи может быть получен из передаточной характеристики заменой р на j .
Анализ преобразования сигналов в линейных цепях с использованием комплексного коэффициента передачи называется методом анализа в частотной области (спектральным методом).
На практике К (j ) часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. Эти методы базируются на том, что при гармоническом воздействии комплексный коэффициент передачи может быть выражен в виде отношения комплексных амплитуд выходного и входного сигналов
линейный цепь сигнал интегрирующий
Если входной и выходной сигналы являются напряжениями, то K (j ) является безразмерным, если соответственно током и напряжением, то K (j ) характеризует частотную зависимость сопротивления линейной цепи, если напряжением и током, то - частотную зависимость проводимости.
Комплексный коэффициент передачи K (j ) линейной цепи связывает между собой спектры входного и выходного сигналов. Как и любая комплексная функция, он может быть представлен в трех формах (алгебраической, показательной и тригонометрической):
где - зависимость от частоты модуля
Зависимость фазы от частоты.
В общем случае комплексный коэффициент передачи можно изобразить на комплексной плоскости, откладывая по оси действительных величин, - по оси мнимых значений. Полученная при этом кривая называется годографом комплексного коэффициента передачи.
На практике большей частью зависимости К () и k () рассматриваются отдельно. При этом функция К () носит название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция k () - фазо-частотной характеристики (ФЧХ) линейной системы. Подчеркнем, что связь между спектром входного и выходного сигналов существует только в комплексной области.
При анализе прохождения стационарного СП через линейные электрические цепи (рис. 1) будем полагать, что режим цепи установившийся, т.е. после подачи на вход цепи сигнала все переходные процессы, связанные с включением, закончились. Тогда и выходной СП будет стационарным. Рассматриваемая задача будет состоять в том, чтобы по заданной корреляционной функции входного сигнала или его спектральной плотности мощности определить B (t) или G (w) выходного сигнала.
Сначала рассмотрим решение этой задачи в частотной области. Входной СП задан своей спектральной плотностью мощности G х (
). Выходная спектральная плотность мощности G y (w) определяется по формуле ) = G х ( )K 2 ( ), (1)где K 2 (
) - квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Возведение в квадрат модуля основано на том, что искомая характеристика является действительной функцией частоты и энергетической характеристикой выходного процесса.Для определения связи между корреляционными функциями необходимо применить к обеим частям равенства (1) обратное преобразование Фурье:
B x (
) = F -1 [G x ( )]; F -1 [K 2 ( )] = B h ( )Корреляционная функция импульсной характеристики исследуемой цепи:
B h (
)= h (t )h (t - )dt .Таким образом, корреляционная функция выходного СП есть
) = B x ( ) B h ( ) = Bx(t ) B h (t -t)dt .ПРИМЕР 1 прохождения стационарного случайного широкополосного сигнала через RC -цепь (фильтр нижних частот), представленную схемой на рис. 2.
Широкополосность понимается так, что энергетическая ширина спектра входного СП намного больше полосы пропускания цепи (рис. 3). При таком соотношении между формой K 2 (
) и G x ( ) можно не рассматривать ход характеристики G x ( ) в области верхних частот.Учитывая, что в полосе частот, где K 2 (w) существенно отличается от нуля, спектральная плотность мощности входного сигнала равномерна, можно без существенной погрешности входной сигнал аппроксимировать белым шумом, т.е. положить G x (
) = G 0 = const. Такое предположение существенно упрощает анализ. Тогда G y ( ) = G 0 K 2 ( )Для заданной цепи
) = 1/, тогда G y ( ) = G 0 /.Определим энергетическую ширину спектра выходного сигнала. Мощность выходного СП
P y = s y 2 = (2p) - 1 G y (
)d = G 0 /(2RC ), тогда э = (G0)-1 Gy ( )d = p/(2RC).На рис. 4 показаны корреляционная функция выходного СП и его спектральная плотность мощности.
Спектральная плотность мощности по форме повторяет квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Максимальное значение G y (
) равно G 0 . Максимальное значение корреляционной функции выходного СП (его дисперсия) равна G 0 /(2RC ). Нетрудно определить площадь, ограниченную корреляционной функцией. Она равна значению спектральной плотности мощности при нулевой частоте, т.е. G 0:.
Параметрическими (линейными цепями с переменными параметрами) , называются радиотехнические цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени по заданному закону. Предполагается, что изменение (точнее модуляция) какого-либо параметра осуществляется электронным методом с помощью управляющего сигнала. В радиотехнике широко применяются параметрические сопротивления R(t), индуктивности L(t) и емкости C(t).
Примером одного из современных параметрических сопротивлений может служить канал VLG-транзистора, на затвор которого подано управляющее (гетеродинное) переменное напряжение u г (t). В этом случае крутизна его стоко-затворной характеристики изменяется во времени и связана с управляющим напряжением функциональной зависимостью S(t)=S. Если к VLG-транзистору подключить еще и напряжение модулированного сигнала u(t), то его ток определится выражением:
i c (t)=i(t)=S(t)u(t)=Su(t). (5.1)
Как к классу линейных, к параметрическим цепям применим принцип суперпозиции. Действительно, если приложенное к цепи напряжение является суммой двух переменных
u(t)=u 1 (t)+u 2 (t), (5.2)
то, подставив (5.2) в (5.1), получим выходной ток также в виде суммы двух составляющих
i(t)=S(t)u 1 (t)+S(t)u 2 (t)= i 1 (t)+ i 2 (t) (5.3)
Соотношение (5.3) показывает, что отклик параметрической цепи на сумму двух сигналов равен сумме ее откликов на каждый сигнал в отдельности.
Преобразование сигналов в цепи с параметрическим сопротивлением. Наиболее широко параметрические сопротивления применяются для преобразования частоты сигналов. Отметим, что термин «преобразование частоты» не совсем корректен, поскольку частота сама по себе неизменна. Очевидно, это понятие возникло из-за неточного перевода английского слова «heterodyning – гетеродинирование». Гетеродинирование – это процесс нелинейного или параметрического смешивания двух сигналов различных частот для получения третьей частоты.
Итак, преобразование частоты – это линейный перенос (смешивание, трансформация, гетеродинирование, или транспонирование) спектра модулированного сигнала (а также любого радиосигнала) из области несущей частоты в область промежуточной частоты (или с одной несущей несущей частоты на другую, в том числе и более высокую) без изменения вида или характера модуляции.
Преобразователь частоты (рис.5.1) состоит из смесителя (СМ) – параметрического элемента (например, МДП-транзистора, варикапа или обычного диода с квадратичной характеристикой), гетеродина (Г) – вспомогательного автогенератора гармонических колебаний с частотой ω г, служащего для параметрического управления смесителем, и фильтра промежуточной частоты (обычно колебательного контура УПЧ или УВЧ).
Рис.5.1. Структурная схема преобразователя частоты
Принцип действия преобразователя частоты рассмотрим на примере переноса спектра однотонального АМ-сигнала. Положим, что под воздействием гетеродинного напряжения
u г (t)=U г cos ω г t (5.4)
крутизна характеристики МДП-транзистора преобразователя частоты изменяется во времени приближенно по закону
S(t)=S o +S 1 cos ω г t (5.5)
где S o и S 1 – соответственно среднее значение и первая гармоническая составляющая крутизны характеристики.
При поступлении на МДП-транзистор смесителя АМ-сигнала u AM (t)= U н (1+McosΩt)cosω o t переменная составляющая выходного тока в соответствии с (5.1) и (5.5) будет определяться выражением:
i c (t)=S(t)u AM (t)=(S o +S 1 cos ω г t) U н (1+McosΩt)cosω o t=
U н (1+McosΩt) (5.6)
Пусть в качестве промежуточной частоты параметрического преобразователя выбрана
ω пч =|ω г -ω о |. (5.7)
Тогда, выделив ее с помощью контура УПЧ из спектра тока (5.6), получим преобразованный АМ-сигнал с тем же законом модуляции, но существенно меньшей несущей частотой
i пч (t)=0,5S 1 U н (1+McosΩt)cosω пч t (5.8)
Заметим, что наличие только двух боковых составляющих спектра тока (5.6) определяется выбором предельно простой кусочно-линейной аппроксимации крутизны характеристики транзистора. В реальных схемах смесителей в спектре тока содержатся также составляющие комбинационных частот
ω пч =|mω г ±nω о |, (5.9)
где m и n – любые целые положительные числа.
Соответствующие временные и спектральные диаграммы сигналов с амплитудной модуляцией на входе и выходе преобразователя частоты показаны на рис. 5.2.
Рис.5.2. Диаграммы на входе и выходе преобразователя частоты:
а – временные; б – спектральные
Преобразователь частоты в аналоговых перемножителях . Современные преобоазователи частоты с параметрическими резистивными цепями построены на принципиально новой основе. В них в качестве смесителей используются аналоговые перемножители. Если на входы аналогового перемножителя подать два гармонических колебания некий модулированный сигнал:
u с (t)=U c (t)cosω o t (5.10)
и опорное напряжение гетеродина u г (t)=U г cos ω г t, то его выходное напряжение будет содержать две составляющие
u вых (t)=k a u c (t)u г (t)=0,5k a U c (t)U г (5.11)
Спектральная составляющая с разностной частотой ω пч =|ω г ±ω о | выделяется узкополосным фильтром УПЧ и используется в качестве промежуточной частоты преобразованного сигнала.
Преобразование частоты в цепи с варикапом . Если на варикап подать только гетеродинное напряжение (5.4), то его емкость приближенно будет изменяться во времени по закону (см.рис. 3.2 в части I):
C(t)=C o +C 1 cosω г t, (5.12)
где С о и С 1 – среднее значение и первая гармоническая составляющая емкости варикапа.
Положим, что на варикап воздействуют два сигнала: гетеродинное и (для упрощения расчетов) немодулированное гармоническое напряжение (5.10) с амплитудой U c . В этом случае заряд на емкости варикапа будет определяться:
q(t)=C(t)u c (t)=(С о +С 1 cosω г t)U c cosω o t=
С о U c (t)cosω o t+0,5С 1 U c cos(ω г - ω o)t+0,5С 1 U c cos(ω г + ω o)t, (5.13)
а ток, протекающий через него,
i(t)=dq/dt=- ω o С o U c sinω o t-0,5(ω г -ω o)С 1 U c sin(ω г -ω o)t-
0,5(ω г +ω o)С 1 U c sin(ω г +ω o)t (5.14)
Включив последовательно с варикапом колебательный контур, настроенный на промежуточную частоту ω пч =|ω г -ω о |, можно выделить желаемое напряжение.
С реактивным элементом типа варикапа (для сверхвысоких частот это варактор ) можно создать также параметрический генератор, усилитель мощности, умножитель частоты. Такая возможность основана на преобразовании энергии в параметрической емкости. Из курса физики известно, что энергия, накопленная в конденсаторе, связана с его емкостью С и зарядом на ней q формулой:
Э= q 2 /(2С). (5.15)
Пусть заряд остается постоянным, а емкость конденсатора уменьшается. Поскольку энергия обратно пропорциональна величине емкости, то приуменьшении последней энергия растет. Количественное соотношение такой связи получим, дифференцируя (5.15) по параметру С:
dЭ/dC= q 2 /2C 2 =-Э/С (5.16)
Это выражение также справедливо и для малых приращений емкости ∆С и энергии ∆Э, поэтому можно записать
∆Э=-Э (5.17)
Знак минус здесь показывает, что уменьшение емкости конденсатора (∆С<0) вызывает увеличение запасаемой в нем энергии (∆Э>0). Увеличение энергии происходит за счет внешних затрат на выполнение работы против сил электрического поля при уменьшении емкости (например, путем изменения напряжения смещения на варикапе).
При одновременном воздействии на параметрическую емкость (или индуктивность) нескольких источников сигналов с разными частотами, между ними будет происходить перераспределение (обмен) энергий колебаний. На практике энергия колебаний внешнего источника, называемого генератором накачки , через параметрический элемент передается в цепь полезного сигнала.
Для анализа энергетических соотношений в многоконтурных цепях с варикапом обратимся к обобщенной схеме (рис.5.3). В ней параллельно параметрической емкости С включены три цепи, две из которых содержат источники e 1 (t) и e 2 (t), создающие гармонические колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Источники соединены через узкополосные фильтры Ф 1 и Ф 2 , пропускающие соответственно колебания с частотами ω 1 и ω 2 . Третья цепь содержит сопротивление нагрузки R н и узкополосный фильтр Ф 3 , так называемый холостой контур , настроенный на заданную комбинационную частоту
ω 3 = mω 1 +nω 2, (5.18)
где m и n – целые числа.
Для упрощения будем считать, что в схеме применены фильтры без омических потерь. Если в схеме источники e 1 (t) и e 2 (t) отдают мощности Р 1 и Р 2 , то сопротивление нагрузки R н потребляет мощность Р н. Для замкнутой системы в соответствии с законом сохранения энергии получим условие баланса мощностей:
Р 1 +Р 2 +Р н =0 (5.19)
