Исходной информацией при построении ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой(проектируемой) системы . Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.
Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, средства формирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой ММ.
При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображение в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа(результата решения) на конкретный вопрос исследования.
Например представление процесса функционирования ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящий потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.
Математическую схему можно определить как звено при переходе содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель - математическая схема- имитационная модель.
Каждая конкретная система характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой(системой) Е.
При построении ММ системы необходимо решить вопрос о ее полноте. Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ "Система -среда Е". Так же должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные, в плане цели, моделирования.
ММ объекта моделирования, т.е. системы можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие под множества:
Совокупность -входных воздействий на
Совокупность воздействий внешней среды
Совокупность внутренних (собственных) параметров системы
Совокупность выходных характеристик системы
В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пресекаемые множества, содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.
Таким образом под ММ объекта понимаем конечное множество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .
Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа вход детерминированный. Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системном анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.
В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени - конечные автоматы и разностные схемы.
Общие методические указания
Цель дисциплины "Методы оптимальных решений" – освоить методологию моделирования торгово - экономических процессов для их анализа и оптимального управления ими.
Цель настоящих методических указаний - оказать помощь студентам в изучении основ экономико-математического моделирования, показать необходимые практические навыки по применению математических методов в построении моделей связи показателей задач торговой практики и на их основе научного обоснования выбора управленческих решений.
Объектом изучения курса являются экономические механизмы управления торговых организаций и предприятий.
Предметом изучения курса являются информационные и функциональные связи торгово-экономических систем.
Результатом допуска к зачету по дисциплине «Методы оптимальных решений» является решенная контрольная работа со всеми заданиями с отметкой преподавателя «Зачтено». Зачтенная контрольная работа остается у преподавателя, в учебно-методический отдел сдается рецензия. В случае неясности условий заданий и с возникновением трудностей при решении задач необходимо проконсультироваться студенту у ведущего преподавателя. Если решенная работы не зачтена, студенту необходимо устранить замечания и сдать контрольную на повторное рецензирование.
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТЫ
На титульном листе тетради должны быть написаны наименование дисциплины, наименование факультета, курс, фамилия, имя, отчество.
В начале работы или на титульном листе должны быть указаны номера задач, выполненных в контрольном задании.
Перед решением каждой задачи надо полностью записать ее условие. Решение задач должно включать развернутые расчеты и краткие пояснения, экономический анализ полученных результатов. В конце контрольной работы привести список использованной литературы и поставить свою подпись.
Задание №1
Построить экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальную прибыль на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в следующей таблице 1.
Данные для задач следует выбирать из таблицы 2 по первым буквам фамилии, имени и отчества студента. Например, студент Корниенко Николай Сергеевич должен решить задачу с данными a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9, a 42 =6, a 44 =4, a 54 =19, b 1 =450, b 2 =310, b 3 =410, b 4 =315, b 5 =400, c 1 =89, c 2 =41, c 3 =50.
Модель сложной системы, рассмотренная ранее, представляет собой математическую схему моделирования общего вида. На практике для формализации концептуальных моделей ряда систем выгоднее применять типовые математические схемы моделирования, учитывающие с одной стороны способ представления времени в модели (непрерывная переменная или дискретная), а с другой стороны степень случайности моделируемых процессов. По этим признакам различают следующие математические схемы моделирования (классы ММ).
Непрерывно – детерминированные модели (D – схемы).
Дискретно – детерминированные модели (F – схемы).
Дискретно – вероятностные модели (P – схемы).
Непрерывно - вероятностные модели (Q – схемы).
Сетевые модели (N – схемы).
Агрегатные модели (А – схемы).
Непрерывно-детерминированные модели . В этих моделях время t полагается непрерывной переменной, а случайными факторами в системе пренебрегают. Математический аппарат моделей – теория дифференциальных и интегральных уравнений, с помощью которой достигается адекватное описание динамических систем. Наиболее глубоко разработан операторный метод описания и исследования процессов функционирования динамических систем и их структур.
Примером непрерывно – детерминированной модели одноканальной системы автоматического управления является неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
В этом уравнении x(t)- входное воздействие; y(t) – выходная величина, характеризующая положение объекта управления; - внутренние параметры системы.
Если динамическая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризуют и решают как линейное.
Применение непрерывно – детерминированных моделей позволяет количественно осуществлять не только анализ динамических систем, но и оптимальный синтез их.
Дискретно-детерминированные модели . В дискретно–детерминированных (ДД) моделях время t является дискретной переменной , где – шаг дискретизации, а – дискретные моменты времени.
Основной математический аппарат, используемый при построении ДД – моделей – это теория разностных уравнений и аппарат дискретной математики, в частности, теория конечных автоматов.
Разностное уравнение – это уравнение, содержащее конечные разности искомой функции
где – соответственно состояние системы и внешнее воздействие в дискретные моменты времени .
В прикладных задачах ДД – модели в виде (2.6) часто возникают как промежуточные при исследовании НД – моделей на ЭВМ, когда аналитическое решение дифференциального уравнения получить не удается и приходится применять разностные схемы.
Кратко рассмотрим теорию конечных автоматов, которая используется для построения ДД – моделей.
Конечный автомат – это математическая модель дискретной системы, которая под действием входных сигналов вырабатывает выходные сигналы , и которая может иметь некоторые изменяемые внутренние состояния ; здесь – конечные множества.
Конечный автомат характеризуется: входным алфавитом ; выходным алфавитом ; внутренним алфавитом состояний ; начальным состоянием ; функцией переходов ; функцией выходов .
Процесс функционирования конечного автомата таков. В –м такте на вход автомата, находящегося в состоянии , поступает входной сигнал , на который автомат реагирует переходом на –м такте в состояние и выдачей выходного сигнала Например, конечный автомат Мили описывается следующими рекуррентными соотношениями:
Дискретно–вероятностные модели . В дискретно–вероятностной модели учитываются случайные элементы исследуемой сложной системы. Основной математический аппарат, используемый при построении и исследовании ДВ – моделей, – это теория разностных стохастических уравнений и теория вероятностных автоматов.
Разностное стохастическое уравнение – это такое уравнение, которое содержит случайные параметры или случайные входные воздействия .
Пусть на вероятностном пространстве определен случайный – вектор параметров и случайная последовательность входных воздействий 
Нелинейное разностное стохастическое уравнение порядка имеет вид , (2.8)
где заданные начальные состояния системы; заданная функция переменных.
Решением этого уравнения является определенная на множестве случайная последовательность состояний моделируемой системы:
Если функция линейная по , то (2.8) примет вид:
(2.9)
где вектор параметров.
Другой математический аппарат построения ДВ – моделей сложных систем представляет теория вероятностных автоматов.
Вероятностный автомат, определенный на множестве , есть конечный автомат, в котором функция переходов 
и функция выходов являются случайными функциями, имеющими некоторые вероятностные распределения.
Примем обозначения для вероятностных распределений – начальное распределение вероятностей, 
– вероятность события, состоящего в том, что находящийся в –м такте в состоянии автомат под воздействием входного сигнала выдаст выходной сигнал и перейдет на –м такте в состояние
Математическая модель вероятностного автомата полностью определяется пятью элементами: .
Непрерывно – вероятностные модели . При построении и исследовании НВ – моделей используется теория стохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания.
Стохастическое дифференциальное уравнение (в форме Ито) имеет вид:
где – случайный процесс, определяющий состояние системы в момент времени ; – стандартный винеровский случайный процесс; – коэффициенты диффузии и переноса. НВ – модель часто используется при моделировании стохастических систем управления, процессов обмена.
Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызов на телефонных станциях и т.д. Для функционирования таких систем характерна стохастичность: случайность моментов времени появления заявок на обслуживание и т.д.
Система, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из приборов обслуживания . Прибор обслуживания состоит из накопителя заявок , в котором могут одновременно находиться заявок , и канала обслуживания заявок; – емкость накопителя , то есть число мест в очереди на обслуживание заявок в канале .
На каждый элемент прибора поступают потоки событий; в накопитель – поток заявок , на канал – поток «обслуживаний» . Поток заявок представляет последовательность интервалов времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. А поток представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных.
Заявки, обслуженные СМО, образуют выходной поток – последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок. Не обслуженные заявки, но покинувшие СМО по различным причинам, образуют выходной поток потерянных заявок.
Сетевые модели используют для формализации причинно – следственных связей в сложных системах с параллельными процессами. В основе этих моделей лежит сеть Петри. При графической интерпретации сеть Петри представляет собой граф особого вида, состоящий из вершин двух типов – позиций и переходов , соединенных ориентированными дугами, причем каждая дуга может связывать лишь разнотипные вершины (позицию с переходом или переход с позицией). Вершины-позиции обозначаются кружками, вершины-переходы – черточками. С содержательной точки зрения переходы соответствуют событиям, присущим исследуемой системе, а позиции – условиям их возникновения.
Таким образом, совокупность переходов, позиций и дуг позволяет описать причинно-следственные связи, присущие системе, но в статике. Чтобы сеть Петри «ожила», вводят еще один вид объектов сети – так называемые фишки или метки позиций, которые перемещаются по переходам сети при условии наличия метки во входной позиции и отсутствии метки в выходной позиции. Расположение фишек в позициях сети называется разметкой сети .
Агрегатные модели . Анализ существующих задач приводит к выводу о том, что комплексное решение проблем возможно лишь в том случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую математическую схему моделирования. Такой подход к формализации процесса функционирования сложной системы предложен Бусленко Н.П. и базируется на понятии «агрегата».
При агрегатном описании сложная система разбивается по подсистемы, сохраняя при этом связи обеспечивающие взаимодействие их. Если подсистема оказывается сложной, то процесс расчленения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи могут считаться удобными для математического описания.
В результате этого получается многоуровневая конструкция из взаимосвязанных элементов объединенных в подсистемы различных уровней. Элементами агрегатной модели являются агрегаты. Связи между агрегатами и внешней средой осуществляются с помощью операторов сопряжения. Сам агрегат тоже может рассматриваться как агрегатная модель, то есть разбиваться на элементы следующего уровня.
Любой агрегат характеризуется множествами: моментов времени T , входных X и выходных Y сигналов, состояний агрегата Z в каждый момент времени t . Процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний в моменты поступлений входных сигналов x и изменений состояний между этими моментами и .
Моменты скачков , не являющиеся моментами поступления входных сигналов называют особыми моментами времени , а состояния особыми состояниями агрегатной схемы. В множестве состояний Z выделяют подмножество , что если достигает , то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала y .
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Факультеты ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ, ЗДО
Специальность 220201 - УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Направление бакалавриата 220200 - АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
Моделирование систем: рабочая программа, методические указания для самостоятельной работы и контрольные задания. - Вологда: ВоГТУ, 2008. - 22 с.
Приводится рабочая программа дисциплины с указанием тематики основных разделов, методические указания со ссылками на источники информации, контрольные задания и список литературы.
Предназначена для студентов дневной и заочной форм обучения, обучающихся по направлению: 220200 – автоматизация и управление и специальности 220201 – управление и информатика в технических системах и по направлению бакалавриата: 220200 – автоматизация и управление.
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составитель: В.Н. Тюкин, канд. техн. наук, доцент
Рецензент: Е.В. Несговоров, канд. техн. наук, доцент
кафедры УиВС ВоГТУ
За основу программы приняты требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки инженеров по специальности 210100 - управление и информатика в технических системах, введенного с 10.03.2000 г.
Требования к знаниям и умениям по дисциплине
В результате изучения дисциплины студенты должны:
1. Студент должен иметь представление:
О модели и моделировании;
О роли моделирования при исследовании, проектировании и эксплуатации систем;
О назначении ЭВМ при моделировании систем;
О программных и технических средствах моделирования систем.
2. Студент должен знать:
Назначение и требования, предъявляемые к модели;
Классификацию видов моделирования систем;
Принципы подхода в моделировании систем;
Математические схемы моделирования систем;
Основные этапы моделирования систем.
3. Студент должен уметь:
Получать математические модели систем;
Проводить формализацию и алгоритмизацию процесса функционирования систем;
Строить концептуальные и машинные модели систем;
Получать и интерпретировать результаты моделирования.
Требования к минимуму содержания дисциплины
Классификация моделей и виды моделирования; примеры моделей систем; основные положения теории подобия; этапы математического моделирования; принципы построения и основные требования к математическим моделям систем; цели и задачи исследования математических моделей систем; общая схема разработки математических моделей; формализация процесса функционирования системы; понятие агрегатной модели; формы представления математических моделей; методы исследования математических моделей систем и процессов; имитационное моделирование; методы упрощения математических моделей; технические и программные средства моделирования.
Т а б л и ц а 1
Распределение часов учебного плана по формам обучения и видам занятий
| Виды занятий | Очное обучение | Заочное обучение | ||||
| сем. 7 | всего час | сем. 9 | всего час. | |||
| Лекции | ||||||
| Практические занятия | ||||||
| Лаб. работы | ||||||
| Самост. работа | ||||||
| Всего | ||||||
| Итоговый контроль | з, э. | з, э, 2 к.р. |
Т а б л и ц а 2
Распределение часов самостоятельной работы студента по видам работ
ПРОГРАММА КУРСА
ВВЕДЕНИЕ
В.1. Современное состояние проблемы моделирования систем.
В.2. Использование моделирования при исследовании, проектировании и
управлении систем.
Литература: стр. 4-6.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
1.1. Определение модели и моделирования. Требования, предъявляемые к модели. Назначение модели.
1.2. Принципы подхода в моделировании систем.
1.3. Классификация видов моделирования систем.
1.4. Возможности и эффективность моделирования систем на вычислительных машинах.
Литература: стр. 6-34.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математическая схема общего вида.
2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D - схемы).
2.3. Дискретно-детерминированные модели (F - схемы).
2.4. Дискретно-стохастические модели (Р - схемы).
2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы).
2.6. Обобщенные модели (A - схемы).
Литература: стр. 35-67, стр.168-180.
3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ
3.1. Последовательность разработки и машинной реализации моделей систем.
3.2. Построение концептуальной модели системы и ее формализация.
3.3. Алгоритмизация модели и ее машинная реализация.
3.4. Получение и интерпретация результатов моделирования.
Литература: стр. 68-89.
4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
4.1. Канонические формы моделей динамических систем и методы их исследования.
4.2. Имитационное моделирование.
4.3. Статистическое моделирование.
4.4. Программные и технические средства моделирования систем.
Литература: .
ЦЕЛЬ КУРСА
“Понять - значит построить модель”.
У.Томсон (Кельвин)
Реальные производственные объекты представляют собой, как правило, большие системы, исследование которых является весьма сложной задачей. Основной целью курса является выработка методического подхода к задаче моделирования больших систем и систем управления ими. Эта основная задача может быть разделена на ряд подзадач, также являющихся целями курса:
Знакомство с методами анализа и принципами подхода к моделированию систем;
Изучение основ математического моделирования систем;
Изучение принципов и аппарата моделирования систем;
Знакомство с методами моделирования в проектировании и эксплуатации систем;
Изучение программных и технических средств моделирования систем;
Приобретение практических навыков построения моделей больших систем и методов обработки результатов моделирования.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Курс “Моделирование систем управления” должен дать студенту современный мощный рабочий инструмент инженера для эффективной разработки и эксплуатации автоматизированных производственных систем. Именно моделирование является средством, позволяющим без капитальных затрат решить проблему построения больших систем, к которым относится и современное автоматизированное производство.
Важность изучаемого курса заключается также в овладении приемами и технологией практического решения задач моделирования процессов функционирования систем на ЭВМ.
Студенты должны изучить материал курса в основном самостоятельно. По наиболее сложным вопросам курса, а также по вопросам, недостаточно освещенным в литературе, читаются лекции. Практические навыки по моделированию студенты получают на практических и лабораторных занятиях. Кроме того, в процессе изучения курса, студенты заочного обучения выполняют контрольную работу.
ВВЕДЕНИЕ
Изучение курса следует начать с ознакомления с современным производством, которое можно рассматривать как сложную систему взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, в которой в качестве технологического объекта управления выступает материально-производственная система, а роль регулятора выполняет информационно-управляющая система. Повышение эффективности реализации процессов управления в производстве требует широкого внедрения автоматизированных систем управления, создаваемых с применением экономико-математических методов и средств информационно-вычислительной техники. В настоящее время полное и всестороннее исследование автоматизированных систем управления на всех этапах разработки, начиная с обследования объекта управления и составления технического задания на проектирование и кончая внедрением системы в эксплуатацию, невозможно без методов моделирования на ЭВМ.
Необходимо уяснить, что методологической основой моделирования является диалектико-материалистический метод познания и научного исследования. Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.
Основными принципами моделирования являются .
Принцип информативной достаточности. Определяет уровень априорных сведений, при котором может быть создана адекватная модель.
Принцип осуществимости. Определяется вероятностью достижения цели моделирования за конечное время.
Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности.
Принцип агрегирования. Модель объекта представлять из агрегатов (подсистем), которые пригодны для описания стантартными математическими схемами.
Принцип параметризации. Модель должна иметь в своем составе подсистемы, характеризующиеся параметрами.
Основные понятия моделирования систем
“Определите значение слов,
И вы избавите человечество
От половины его заблуждений”.
Изучая этот раздел важно уяснить основные понятия, определения, цели и принципы моделирования.
Модель это изображение оригинала на основе принятых гипотез и аналогий, а моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.
Основное требование которому должна удовлетворять модель адекватность объекту. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.
Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, предсказания их функционирования, синтеза структуры, параметров и алгоритмов поведения.
При управлении модели позволяют оценивать ненаблюдаемые переменные процесса, прогнозировать состояние процесса при имеющихся или выбираемых управлениях и автоматически синтезировать оптимальные стратегии управления.
При проектировании и эксплуатации автоматизированных систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования систем, проведения структурного, алгоритмического и параметрического синтеза. Решение этих проблем в настоящее время невозможно без использования различных видов моделирования, что обусловлено особенностями больших систем, такими как сложностью структур, стохастичностью связей между элементами и внешней средой, неоднозначностью алгоритмов поведения, большом количестве параметров и переменных, неполнотой и недетерминированностью исходной информации. Математическое моделирование позволяет существенно уменьшить время проектирования, во многих случаях позволяет найти оптимальное решение, исключить метод натурных проб и ошибок, перейти к параллельному процессу проектирования.
В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, предполагающий последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Модель в этом случае создается под поставленную проблему, а моделирование заключается в решении проблемы цели, проблемы построения модели, проблемы работы с моделью. Для правильно выбранной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы не существенные для данного исследования.
В основе классификации видов моделирования систем лежат различные признаки, такие как степень полноты модели, характер математического описания. Важное место занимает математическое моделирование, представляющее собой процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование включает в себя аналитическое и имитационное. Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставиться в соответствие элемент модели.
Техническим средством решения инженерных задач на базе моделирования является ЭВМ. Машинный эксперимент с моделью дает возможность исследовать процесс функционирования в любых условиях, сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом, обладает гибкостью варьирования параметров, структуры, алгоритмов моделируемой системы, является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования систем на этапе их проектирования.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое модель и моделирование?
2.Сформулируйте основные требования предъявляемые к модели.
3.Какова роль моделирования при исследовании и проектировании систем и управлении?
4.Дайте определения системы, внешней среды, функционирования системы.
5.В чем смысл системного подхода в моделировании?
6.Перечислите признаки классификации видов моделирования систем.
7.Расскажите о математическом моделировании и его видах.
8.В чем отличие аналитического и имитационного моделирования?
9.Что такое кибернетическое моделирование?
10.Роль и назначение ЭВМ при моделировании.
Математические схемы моделирования систем
“Высшее назначение математики -
Находить порядок в хаосе,
Который нас окружает “.
При изучении этого раздела прежде всего необходимо обратить внимание на понятия математических схем моделирования как общего вида, так и типовых.
Математическую схему определяют как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка “описательная модель - математическая схема - математическая модель”. Математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели.
Модель объекта моделирования, т.е. систему, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему, совокупность воздействий внешней среды, совокупность внутренних (собственных) параметров системы и совокупность выходных характеристик системы. Входные воздействия, воздействия внешней среды, внутренние параметры являются независимыми (э к з о г е н н ы м и) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (э н д о г е н н ы м и) переменными. Математическая схема моделирования общего вида задается оператором, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные.
В практике моделирования пользуется типовыми математическими схемами, которые не обладают общностью, но имеют преимущества простоты и наглядности. К ним относятся детерминированные, стохастические и агрегатные типовые модели. В качестве детерминированных моделей используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретное время - разностные уравнения и конечные автоматы. В качестве стохастических моделей для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем - системы массового обслуживания. Агрегатные модели отображают системный характер объектов, которые расчленяются на конечное число частей, сохраняя связи, обеспечивающие взаимодействие частей.
Типовые математические схемы (D- ,F- ,P- ,Q- ,A-) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования производственных задач.
Вопросы для самопроверки
1.Какова роль математической схемы моделирования?
2.Что представляет собой математическая схема общего вида?
3.Назовите основные формы представления непрерывно-детерминированных моделей.
4.Дайте описание дискретного конечного автомата.
5.Перечислите способы задания работы F - автоматов.
6.Каким образом задается вероятностный автомат.
7.Что представляет собой СМО? Назовите основные элементы СМО.
8.Что такое транзакт?
9.Раскажите о символике Q-схем. Как графически изображаются: источник заявок, канал обслуживания, накопитель, клапан, потоки событий. Приведите пример изображения СМО в символике Q - схем.
10.Какова структура агрегатной системы?
В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.
Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.
Понятие «модель»
Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:
- специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
- еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
- моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).
Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.
Все модели можно классифицировать по ряду признаков:
- по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
- по динамике (статические и динамические);
- по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
- по способу представления (материальные и информационные).
Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.
Математическая модель
Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.
Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).
Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.
Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.
Дескриптивные модели
В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.
Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.
Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.
Оптимизационные модели
Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.
У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.
Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.
Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).
Многокритериальные модели
Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?
Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.
Какие критерии нам даны в данной задаче?
- Питание должно быть полезным.
- Расходы на пищу должны быть минимальными.
Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.
Игровые модели
Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.
Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.
Все модели имеют некие характеристики.
Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.
Имитационные модели
В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:
- модель динамики численности микроорганизмов;
- модель движения молекул, и так далее.
В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:
- через пять дней женская особь откладывает яйца;
- через двадцать дней муравей погибает, и так далее.
Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.
Требования
Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.
Универсальность | Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта |
Адекватность | Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели |
Точность | Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта |
Экономичность | Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера |
Этапы моделирования
Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.
- Формулировка законов, связывающих части модели.
- Исследование математических задач.
- Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
- Анализ и модернизация модели.
Экономико-математическая модель
В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:
- формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
- максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.
Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.
Компьютерная математическая модель
Примерами компьютерной математической модели являются:
- задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
- задачи на механику твердого тела, и так далее.
Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:
- таблицы;
- блок-схемы;
- диаграммы;
- графика, и так далее.
При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.
Построение экономико-математической модели
Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.
Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.
Пример построения простой математической модели
Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:
- 8 рыб - обитатели северных морей;
- 20% улова - обитатели южных морей;
- из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.
Сколько рыб он купил в магазине?
Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.
Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.
Процесс моделирования включает несколько этапов:
1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.
2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.
3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.
4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.
5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.
Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К . Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.
Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д , которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц , формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.
Системный подход используется для моделирования сложных систем.
Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени.Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у i dt .Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.
Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.
Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.
Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.
Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.
5. По зависимости параметров модели от переменных.
а) Зависимые (нелинейные).
б) Независимые (линейные).
Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.
Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.
Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.
Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.
6. По приспособляемости модели.
а) Адаптивные.
б) Неадаптивные.
Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.
Они делятся на поисковые и беспоисковые.
В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.
Лекция № 2
Математические схемы моделирования
Основные подходы к построению математической модели системы
Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М .
Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.
Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε .
Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е .
Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.
Введем следующее обозначение:
1) Совокупность входных воздействий на систему
.
2) Совокупность воздействий внешней среды
.
3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы
.
4) Совокупность выходных характеристик системы