На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.
Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.
Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:
В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.
В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?
Найдём значение выражения: .
В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.
Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .
Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.
Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : 
.
Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .
Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?
Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.
Рассмотрим многочлен 
. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.
Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: 
.
Рассмотрим ещё один пример: .
Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .
Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.
Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .
В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:
Усложним пример, увеличив количество одночленов:
После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.
Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:
Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.
Общим множителем также может быть искомое значение :
Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.
>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки
Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;
Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.
б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).
в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень
из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:
4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:
12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).
д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).
Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.
Замечание
. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.
Например:
Пример 2. Разложить на множители:
Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .
Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .
Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).
Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .
Решение. В примере 1д) мы получили, что
5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .
Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.
Пример 4. Разложить на множители:
2x(x-2) + 5(x-2) 2 .
Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:
2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:
у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую
2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).
Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиЧичаева Дарина 8в класс
В работе ученица 8 класса расписала правило разложения многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки с подробным ходом решения множества примеровм по данной теме. На каждый разобранный пример предложено по 2 примера для самостоятельного решения, к которым есть ответы. Работа поможет изучить данную тему тем ученикам, которые по каким-то причинам её не усвоил при прохождении программного материала 7 класса и (или) при повторении курса алгебры в 8 классе после летних каникул.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №32
«Ассоциированная школа ЮНЕСКО «Эврика-развитие»
г. Волжского Волгоградской области
Работу выполнила:
Ученица 8В класса
Чичаева Дарина
г. Волжский
2014
Вынесение общего множителя за скобки
- - Одним из способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки;
- - При вынесении общего множителя за скобки применяется распределительное свойство ;
- - Если все члены многочлена содержат общий множитель , то этот множитель можно вынести за скобки .
При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложение многочлена на множители.
Рассмотрим многочлен 6a 2 b+15b 2 . Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →из этого мы получим: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.
Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них – общий множитель 3b , а другой – сумма 2а 2 и 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Таким образом, мы разложили многочлен: 6a 2 b+15b 2 на множители, представив его в виде произведения одночлена 3b и многочлена 2a 2 +5b. Данный способ разложения многочлена на множители называют вынесение общего множителя за скобки.
Примеры:
Разложите на множители:
А) kx-px.
Множитель х х выносим за скобки.
kx:x=k; px:x=p.
Получим: kx-px=x*(k-p).
б) 4a-4b.
Множитель 4 есть и в 1 слагаемом и во 2 слагаемом. Поэтому 4 выносим за скобки.
4а:4=а; 4b:4=b.
Получим: 4a-4b=4*(a-b).
в) -9m-27n.
9m и -27n делятся на -9 . Поэтому выносим за скобки числовой множитель -9.
9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.
Имеем: -9m-27n=-9*(m+3n).
г) 5y 2 -15y.
5 и 15 делятся на 5; y 2 и у делятся на у.
Поэтому выносим за скобки общий множитель 5у .
5y 2 : 5у=у; -15y: 5у=-3.
Итак: 5y 2 -15y=5у*(у-3).
Замечание: Из двух степеней с одинаковым основанием выносим степень с меньшим показателем.
д) 16у 3 +12у 2 .
16 и 12 делятся на 4; y 3 и y 2 делятся на y 2 .
Значит, общий множитель 4y 2 .
16y 3 : 4y 2 =4y; 12y 2 : 4y 2 =3.
В результате мы получим: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4у+3).
е) Разложите на множители многочлен 8b(7y+a)+n(7y+a).
В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (7y+a) , который можно вынести за скобки. Итак, получим: 8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).
ж) a(b-c)+d(c-b).
Выражения b-c и c-b являются противоположными. Поэтому, чтобы сделать их одинаковыми, перед d меняем знак «+» на «-»:
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).
Примеры для самостоятельного решения:
- mx+my;
- ах+ау;
- 5x+5y ;
- 12x+48y;
- 7ax+7bx;
- 14x+21y;
- –ma-a ;
- 8mn-4m 2 ;
- -12y 4 -16y;
- 15y 3 -30y 2 ;
- 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
- 8m(a-3)+n(a-3);
- x(y-5)-y(5-y);
- 3a(2x-7)+5b(7-2x);
Ответы.
1) m(х+у); 2) а(х+у); 3) 5(х+у); 4) 12(х+4у); 5) 7х(a+b); 6) 7(2х+3у); 7) -а(m+1); 8) 4m(2n-m);
9) -4y(3y 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5с+у 2 ); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).
§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки
В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.
Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.
Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.
Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить выражение на множители:
3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .
Р а з в’ я з а н н я.
1) Общим множителем является число 4, поэтому
8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Общим множителем является переменная а, поэтому
at + 7ap = a(t + 7p).
3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,
15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).
Пример 2. Разложить па множители:
1) 2m(b - с) + 3р(b - с);
2) х(у - t) + c(t - в).
Р а з в ’ я з а н н я.
1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.
Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).
2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).
Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).
Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.
Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.
Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.
Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.
Ответ: 0; 1,4.
Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.
- (Устно) Найдите общий множитель в выражении:
- (Устно) Разложите на множители:
- Вынесите за скобки общий множитель:
- (Устно) правильно выполнило разложения на множители:
1) 7а + 7 = 7а;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2а - 2 = 2(а - 1);
4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
- Запишите сумму в виде произведения:
- Разложите на множители:
- Разложите на множители:
4) 7а + 21ау;
5) 9х 2 - 27х;
6) 3а - 9а 2 ;
8) 12ах - 4а 2 ;
9) -18ху + 24в 2 ;
10) а 2 b - ab 2 ;
11) рм - р 2 m;
12) -х 2 y 2 - ху.
- Вынесите за скобки общий множитель:
4) 15ху + 5х;
6) 15m - 30m 2 ;
7) 9xy + 6х 2 ;
9) -p 2 q - рq 2 .
- Разложите на множители:
5) 3b 2 - 9b 3 ;
7) 4y 2 + 12y 4 ;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Разложите на множители:
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4 ;
6) -25m 3 - 20m.
- Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
- Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) а 4 + а 3 - а 2 ;
2) m 9 - m 2 + m 7 ;
3) b 6 + b 5 - b 9 ;
4) -в 7 - в 12 - в 3 .
- Представьте в виде произведения:
1) р 7 + р 3 - р 4 ;
2) а 10 - a 5 + а 8 ;
3) b 7 - b 5 - b 2 ;
4) -m 8 - m 2 - m 4 .
- Вычислите удобным способом:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Решите уравнение:
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4х = 0.
- Найдите корни уравнения:
1) х 2 + 3x = 0;
2) х 2 -7х = 0.
1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;
3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .
- Разложите многочлен на множители:
1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;
2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;
3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .
- Вычислите удобным способом:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Найдите значение выражения:
1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;
2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;
3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;
4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.
- Найдите значение выражения:
1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;
2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .
- Разложите многочлен на множители:
1) 2р(х - у) + q(x - у);
2) а(х + у) - (х + у);
3) (а - 7) - b(а - 7);
4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;
5) (х + 2) 2 - х(х + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
- Представьте выражение в виде произведения:
1) а(х - у) + b(у - х);
2) г(b - 5) - n(5 - b);
3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);
4) (х - y) 2 - а(у - х);
5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);
6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).
- Разложите на множители:
1) 3х(b - 2) + у(b - 2);
2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);
3) а(b - 9) + с(9 - b);
4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;
5) (с - m) 2 - 5(m - с);
6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .
- Найдите корни уравнения:
1) 4x 2 - х = 0;
2) 7х 2 + 28х = 0;
3) х 2 + х = 0;
4)х 2 - х = 0.
- Решите уравнение:
1) 12х 2 + х = 0;
2) 0,2 x 2 - 2х = 0;
3) х 2 - х = 0;
4) 1 - х 2 + - х = 0.
- Решите уравнение:
1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;
2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.
- Решите уравнение:
1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;
2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.
1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;
2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.
- Докажите, что значение выражения:
1) 39 9 - 39 8 делится на 38;
2) 49 5 - 7 8 делится на 48.
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18а + 27b) 2 .
- Найдите корни уравнения:
1) х(х - 3) = 7х - 21;
2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.
- Решите уравнение:
1) х(х - 2) = 4х - 8;
2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.
- Докажите, что число:
1) 10 4 + 5 3 делится на 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;
4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.
Упражнения для повторения
- Упростите выражение и найдите его значение:
1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.
- Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.
- Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.
Интересные задачи для учеников ленивых
Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?
В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие вынесения множителя за скобки
Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .
В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .
Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.
Правило вынесения общего множителя за скобки
Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:
Определение 1
Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Пример 1
Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .
Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .
Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Пример 2
Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .
Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.
В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter